Fonctions complexes de la variable complexe
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Application bornée
On dit qu'une application complexe f définie sur un sous-ensemble Z de C est
bornée sur Z si
3 K E JR + 'riz E Z lf( z) I ::;;:; K.
Une application complexe f définie sur un sous-ensemble Z de C n'est pas
bornée sur Z si
VK E JR + 3z E Z lf(z)I >K.
Exemples
1. L'application f : z E C* 1-+ l zl/ z E C est bornée sur C* car pour tout z E C*
on a lf( z) I = 1.
2. L'application f: z E C* 1-+ I/z E C n'est pas bornée sur C* car pour tout
K E JR + le complexe z= K�i est tel que lf(z)I = I K +il >K.
4.3.2 Quelques exemples de fonctions de la variable complexe
Fonction racine n-ième
Soient n E N avec n � 2 et w E C. Les complexes z solutions de l'équation
zn = w sont les racines n-ièmes de w. Si w est non nul, il existe n solutions qui
d ,
l l . (18)
sont onnees par a re at1on :
Z
k
=
� ei f,: ( Arg ( w ) + 2 k1r ) kE{O, ... , n - 1} .
La fonction puissance z 1-+ zn n'est donc pas une bijection de C dans C. Par
contre, la relation ci-dessus indique qu'il s'agit d'une bijection de l'ensemble
V n = {z E C* ; Arg(z) E] - �, �]} dans C.
On appelle détermination principale de la fo nction racine n-ième complexe
l'application :
Fonctions de la variable complexe et géométrie
Intéressons-nous à quelques exemples de fonctions de la variable complexe intervenant en géométrie du plan.
Translation. L'application T : z E C 1-+ z + zo E C où zo désigne un nombre
complexe fixé est une bijection appelée translation. Un point M d'affixe z a
pour image par T un point M' qui est le translaté de M par la translation de
vecteur r = (Re(zo),Im(zo)), autrement dit un point M' tel que MM' = r.
La bijection réciproque de Test la translation 7 - 1 : z E C 1-+ z - zo E C.
Rotation. L'application R : z E C 1-+ z é>: E C où a: désigne un nombre réel
fixé est une bijection appelée rotation. Un point M d'affixe z a pour image
par Run point 111' qui s'obtient par la rotation de centre l'origine et d'angle a:.
(l8) Voir la proposition 4.9 p. 149 du Cours de premièrn année.