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Fo nctions complexes d'une variable complexe
Surjection, injection et bijection
On appelle image de l'application complexe f de Z dans W le sous-ensemble
suivant de TV :
f(Z) = {w E C; 3z E Z w = f(z)}.
Plus généralement, si A désigne un sous-ensemble de Z alors l'ensemble
f (A) = { w E C ; 3z E A w = f ( z)}
est appelé image de A par f.
L'application complexe f de Z dans vV est une surjection si tout élément de W
admet au moins un antécédent par f dans Z, autrement dit si :
'Vw E W 3z E Z w = f(z).
De manière équivalente, la surjectivité de f de Z dans W se traduit par la
relation f(Z) = W.
L'application complexe f de Z dans W est une injection si tout élément de W
admet au plus un antécédent par f dans Z, autrement dit si :
'V(z, z ' ) E Z 2 (f(z) = f(z ' ) => z = z ' ) .
De manière équivalente, par contraposition, l'application complexe f de Z
dans TV est une injection si :
'V(z, z ' ) E Z 2 (z -=/=- z ' => f(z) -=/=- f(z ' )).
Enfin, l'application complexe f de Z dans W est une bijection s'il s'agit à la
fois d'une injection et d'une surjection. Cela signifie que tout élément de W
admet un unique antécédent par f dans Z.
Parité et périodicité
X Soit f une application de C dans C
- On dit que f est paire si : Vz E C f(-z) = f(z).
- On dit que f est impaire si : Vz E C f(-z) = -f(z).
X On dit qu'une application f de C dans C admet le complexe non nul T pour
période si
'Vz E C f(z + T) = f(z).
Une fonction admettant une période est dite périodique de période T.
Exemples
1. L'application z E C 1--t z + z E C est impaire.
2. Pour tout n E N, l'application z E C 1--t z 2 n E C est paire.
3. L'application z E C 1--t i cos(Im(z)) E C est périodique et admet pour
période 2?r i.