Fonctions complexes de la variable complexe
4.3 Fonctions complexes d'une variable complexe
4.3.1 Généralités
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On appelle fo nction complexe d'une variable complexe une relation < 1 1> dont
l'ensemble de départ Z et l'ensemble d'arrivée W sont des sous-ensembles de C
et telle que tout élément de Z est en relation avec au plus un élément de W.
On appelle ensemble de définition de la fonction complexe d'une variable complexe f de Z dans W, le sous-ensemble V1 de Z constitué des éléments de Z
ayant une image par f ; autrement dit
V1 = {z E Z; 3w E W w = f(z)}.
Une fonction complexe d'une variable complexe f de Z dans T1V est qualifiée
d'application si son ensemble de définition est l'ensemble de départ (Z = V1).
Puisqu'il existe plusieurs façons de représenter un nombre complexe, on peut
aussi représenter une application complexe f définie sur un sous-ensemble Z
de C de différentes manières. Si z désigne un élément de Z et w son image
par f, on peut représenter z et w sous forme cartésienne :
3(x, y)EIR2 z=x +iy
et
3(u, v) E IR2 w = u+iv,
ce qui nous donne la représentation f(z) = u(z) + i v(z), les réels u et v dépendant de z.
- La fonction U : z E C t-+ u(z) E IR est appelée partie réelle de f et est
notée Re(!).
- La fonction V: z E C t-+ v(z) E IR est appelée partie imaginaire de f et est
notée Tm (!).
Exemples
1. L'application f : z E C t-+ z2 E C admet pour partie réelle l'application
U : z E C t-+ Re(z)2 - Tm(z)2 E IR et pour partie imaginaire l'application
V: z E C t-+ 2Re(z)Im(z) ER En effet, si z = x + iy alors
z2 = (x + iy) 2 = x 2 - y2 + 2ixy.
2. L'application f : z E C t-+ z + z E C admet pour partie réelle l'application
U : z E C t-+ 2Re(z) E IR et pour partie imaginaire l'application nulle car
z + z = 2Re(z).
( l7) Vo ir la définition 2.11 p. 33 du Cours de première année.