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To pologie du plan complexe
est un C00-difféomorphisme de [-7r, 7r) dans [ü, 27r]. Les deux arcs paramétrés
et 'l/; sont donc associés au même arc géométrique î·
3. Pour (z0 , z1 ) E C* x C* fixé, l'application : t E IR 1-+ z1 + t zo définit un
arc paramétré de classe C00• Le support de l'arc géométrique associé à est la
droite passant par le point d'affixe z1 et de vecteur directeur (Re(zo),Im(zo)).
Cet arc géométrique est simple.
4. Le support de l'arc géométrique associé à

le nom de Sp irale d'Archimède < 16J , peut être aisément représenté avec MAPLE.
> with(plots) :
> phi := t-> t*exp(I*t) :
> complexplot(phi(t),t=O .. 30,scaling=constrained);
5. Pour r E IR.+ fixé, l'application

définit un arc paramétré de classe C00• Le support de l'arc géométrique î associé
à se visualise aisément avec MAPLE :
> phi := t-> cos(t)-3+I*sin(t)*cos(t)-2 :
> complexplot(phi(t),t=O .. 2*Pi,scaling=constrained);
E3E3
; �,
·0,4
L'arc géométrique î n'est pas simple car ( 1f /2) = (37r /2) = 0, autrement dit
l'arc « passe deux fois par l'origine ».
( IG) La spirale d'Archimède est la trajectoire d'un point se déplaçant uniformément sur une
droite du plan , cette droite tournant elle-même uniformément autour d'un de ses points.
Cette courbe a été étl\diée par ARCHIMÈDE DE SYRACUSE (287-212 av. J.-C.). Dans la
nature, différents éléments botaniques comme par exemple les fleurons du tournesol ou
les primordia des pommes de pin se développent sur une spirale d'Archimède. On pourra
consulter l'article suivant pour une présentation détaillée du phénomène : La physique
des spirales végétales, S. DouADY et Y. COUDER, La Recherche, n° 250, p. 26 (1993).