Fo nctions complexes de la variable complexe
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DÉFINITION 4.2 (Voisinage d'un complexe)
On dit que le sous-ensemble Z de contient une boule ouverte de centre z0, i.e. si
Exemples
3r E IR� D(zo, r) c z.
1. Par définition, toute boule (ouverte ou fermée) de centre z0 est un voisinage
de zo.
2. L'ensemble 3. L'ensemble Z = {z E vérifie sans peine que la boule ouverte de centre 1 + i et de rayon � est incluse
dans Z) . L'ensemble Z contient le complexe 0, mais ce n'est pas un voisinage
de 0 car toute boule ouverte D(O, r) contient le complexe z = - �(1 + i) qui est
de partie réelle nulle donc qui n'appartient pas à Z.
DÉFINITION 4.3 (Ensemble ouvert et ensemble fermé)
X Un sous-ensemble non vide Z de tout élément z de Z, il existe une boule ouverte de centre z contenue dans Z,
i.e. si
'Vz E Z 3r E IR� D(z,r) c Z.
X Un sous-ensemble Z de dans Remarques
1. Il résulte des définitions 4.2 et 4.3 qu'un ensemble est ouvert s'il est un
voisinage de chacun de ses points.
2. Par convention, l'ensemble vide est un ouvert de dans vu que Son complémentaire dans l'ensemble vide est un fermé de à la fois ouverts et fermés dans 3. Un ensemble peut être ni ouvert ni fermé. Contrairement à son sens dans
le langage courant, « fermé » n'est pas le contraire d' « ouvert ». De plus, en
dehors de l'ensemble vide et de ouvert et un fermé de <>