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To pologie du plan complexe
Exemples
1. Montrons que toute boule fermée de C est un ensemble fermé (ce qui justifie a posteriori la terminologie introduite à la définition 4.1). Considérons la
boule fermée D(z0, ro) où zo E C et 1·0 E �+. Pour montrer que D(zo, ro) est
un ensemble fermé, il faut montrer que son complémentaire CD(zo, ro) es t un
ensemble ouvert de C. Désignan t par zi un élément quelconque de CD(zo, ro ), il
s'agi t de montrer que l'on peut trouver une boule ouverte de centre z i incluse
dans CD(z0 , r0). Un petit dessin, vofr la figure 2, permet de repérer comme
candidat potentiel la boule de rayon ri = lzi - zo l - ra .
Fig. 2 Boule ouverte de centre z1 incluse dans CD(z0, ro).
Pour tout z E D(z i , ri), l'inégalité triangulaire nous donne
J z i - zo l � lz i - z l + lz - za l < r1 + lz - zo l = lz1 - zo l - ro + lz - zo l ·
On en déduit que Jz - zo l > ro ce qui signifie que tous les éléments z de
D(z1 , ri) appartiennent bien à CD(zo, ro). L'ensemble CD(z0 , ra) est donc bien
un ensemble omrert, ce qui implique que la boule fermée D(z0, r0) est un ensemble fermé.
2. On montre également que toute boule ouverte de C es t un ensemble ouvert,
voir l'exercice 4.1.
3. L'ensemble Z = {z E C; lzl > r} (où r E �+J est le complémentaire de la
boule fermée D(O, r) ; c'est donc un ensemble ouvert.
4. L'ensemble Z = {z E C; Im(z) > O} est un ensemble ouvert puisque pour
tout z E Z la boule ouver te B(z, �Im(z)) est incluse dans Z. Par conséquent
l'ensemble {z E C ; Im(z) � O} est un ensemble ferm é.
5. Pour tout z0 E C, le singleton {za} est un ensemble fermé puisque l'ensemble
C{za} = C \ {zo} est omrert. En effet, pour tout z E C \ {zo} la boule ouverte
D(z, lz - zo l) est incluse dans C \ {zo}.
1 Exercice 4.1
ouvert.
Montrer que toute boule ouverte de C est un ensemble