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Topologie du plan complexe
4.2 Topologie du plan complexe
Nous allons étendre au plan complexe un certain nombre de définitions qui
ont été introduites dans le Cours de première année c4l sur la topologie de la
droite réelle. Cette partie concernant la topologie du plan complexe constitue
par ailleurs une introduction à la topologie dans un espace métrique qui sera
présentée au chapitre 7.
4.2.1 Ouverts et fermés de C
DÉFINITION 4.1 Soient zo un complexe et r un réel strictement positif.
X On appelle boule ouverte (ou disque ouvert) de centre z0 et de rayon r
l'ensemble
D(zo,r)={zEC; l z - zo l X On appelle boule fermée (ou disque fermé} de centre z0 et de rayon r l'ensemble
D(zo,r) ={zEC; lz - zo l � r} .
On pourra consulter la figure 1 pour une représentation graphique du disque
ouvert D(z0, r) et du disque fermé D(zo, r ) . On a coutume de figurer par un
trait plein la partie de la frontière de l'ensemble dont les points appartiennent
à l'ensemble et par un trait pointillé la partie de la frontière correspondant à
des points n'appartenant pas à l'ensemble .
I
I
,
,
... - - .... ...
'
'
\
\
1
,
r
'
zo \ :
\
I
\
I
'
I
'
,
... .... - - ... ...
Fig. 1 Représentation graphique de la boule ouverte D(zo, r )
(à gauche) et de la boule fermée D(zo, r ) (à droite).
Remarque On peut étendre la définition 4.1 au cas où r =O. La boule ouverte
D(zo,O) est l'ensemble vide et la boule fermée D(z0 ,0) est le singleton {zo}. o
1 On sera attentif à ne pas confondre au niveau des notations la boule fermée
de centre zo et de rayon r notée D(zo, r ) et le complémentaire dans C de la
boule ouverte de centre zo et de rayon r que nous noterons CD(z0, r) .
< 4 l Vo ir la section 3.3 p. 109 du Cours de première année.