Fonctions complexes de la variable complexe
4.1 .5 Inégalité des accroissements finis
163
Dan s le cas d'une fonction de lR dans C, le théorème des accroissement finis <3 > n'est plus valable sous la forme d'une égalité. Considérons par exemple
l'appli cation f : x E (0, 27r] f--4 ei x E C qui est continue sur (0, 27r] et dérivable
sur JO, 27r(. Il n'existe pas de réel c E]O, 27r[ tel que f(27r) - f(O) = 27rf'(c)
car f(27r) - f(O) = 0 alors que 27rf'(c) = 27rieic = 27ri (cos(c) + isin(c)) n'est
jamais nul. On a toutefois le résultat suivant.
THÉORÈME 4.1 (Inégalité des accroissements finis)
Soit f une application définie sur l'intervalle (a, b] et à valeurs dans C. Si f
est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b( et si f' est bornée sur ]a, b[ alors
lf(b) - f(a) I � (b - a) s u p lf '(x ) I .
xE]a,b[
Démonstration Notons fr = Re(!) et fi = Im(f) la partie réelle et la partie
imaginaire de f respectivement. Les applications fr et fi sont continues sur
[a, b] et dérivables s u r ]a, b(.
�Si f(b)-f(a) est réel, alors lf(b)-f(a) I = lf,.(b)-fr (a)I et en appliquant le
théorème des accroissements finis <3 > à la fonction réelle de la variable réelle !r i
on établit l'existence d'un réel c E]a, b( tel que
Comme
lf(b) - f(a) I = lfr (b) - fr (a) I = (b - a) IJ:. ( c) I .
IJ:.(c) I � s u p IJ:.(x) / = sup I Re(f'(x)) I � s u p /J '(x) /,
xE]a,b[
xE)a ,b[ ·
xE] a ,b[
le résultat est démontré sous l'hypothèse que f(b) - f(a) est réel.
�S i f(b) - f(a) n'est pas réel, il existe ( r, B) E IR:f. x] - 7r, O(U]0,7r[ tel que
f(b) - f(a) = re i 8 . Considérons l'application 9 8 : x E (a, b) f--4 e-w f(x). Elle
possède les propriétés suivantes.
- L'application 9 8 est continue sur [a, b] , dérivable sur ]a, b( et l'application
90 : x E]a, b(f--4 e - i 9 f'(x) est bornée sur ]a, b[ ; comme le -i 8 / = 1, on a
sup /9é(x) I = sup /J'(x)I
x E]a ,b[
xE] a ,b[
- De plus, 99(b)-99(a) = e-ilJ (f(b)-f(a)) = r ce qui montre que 99(b)-99(a)
est réel. Notons aussi que /9 9 (b) - 99 (a) / = /j (b) - f(a) I .
En appliquant la première partie de la démonstration à l'application 9, on
obtient :
lf(b) - f(a) / = /99(b) - 99 (a) / � (b - a) s u p /9é (x) / = (b - a) s u p /J '(x) I .
xE]a,b[
x E)a,b[
Le résultat est démontré.
0
<3 > Voir le théorème 16.2 p. 731 du Cours de p1·emière année.
4.1 .5 Inégalité des accroissements finis
163
Dan s le cas d'une fonction de lR dans C, le théorème des accroissement finis <3 > n'est plus valable sous la forme d'une égalité. Considérons par exemple
l'appli cation f : x E (0, 27r] f--4 ei x E C qui est continue sur (0, 27r] et dérivable
sur JO, 27r(. Il n'existe pas de réel c E]O, 27r[ tel que f(27r) - f(O) = 27rf'(c)
car f(27r) - f(O) = 0 alors que 27rf'(c) = 27rieic = 27ri (cos(c) + isin(c)) n'est
jamais nul. On a toutefois le résultat suivant.
THÉORÈME 4.1 (Inégalité des accroissements finis)
Soit f une application définie sur l'intervalle (a, b] et à valeurs dans C. Si f
est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b( et si f' est bornée sur ]a, b[ alors
lf(b) - f(a) I � (b - a) s u p lf '(x ) I .
xE]a,b[
Démonstration Notons fr = Re(!) et fi = Im(f) la partie réelle et la partie
imaginaire de f respectivement. Les applications fr et fi sont continues sur
[a, b] et dérivables s u r ]a, b(.
�Si f(b)-f(a) est réel, alors lf(b)-f(a) I = lf,.(b)-fr (a)I et en appliquant le
théorème des accroissements finis <3 > à la fonction réelle de la variable réelle !r i
on établit l'existence d'un réel c E]a, b( tel que
Comme
lf(b) - f(a) I = lfr (b) - fr (a) I = (b - a) IJ:. ( c) I .
IJ:.(c) I � s u p IJ:.(x) / = sup I Re(f'(x)) I � s u p /J '(x) /,
xE]a,b[
xE)a ,b[ ·
xE] a ,b[
le résultat est démontré sous l'hypothèse que f(b) - f(a) est réel.
�S i f(b) - f(a) n'est pas réel, il existe ( r, B) E IR:f. x] - 7r, O(U]0,7r[ tel que
f(b) - f(a) = re i 8 . Considérons l'application 9 8 : x E (a, b) f--4 e-w f(x). Elle
possède les propriétés suivantes.
- L'application 9 8 est continue sur [a, b] , dérivable sur ]a, b( et l'application
90 : x E]a, b(f--4 e - i 9 f'(x) est bornée sur ]a, b[ ; comme le -i 8 / = 1, on a
sup /9é(x) I = sup /J'(x)I
x E]a ,b[
xE] a ,b[
- De plus, 99(b)-99(a) = e-ilJ (f(b)-f(a)) = r ce qui montre que 99(b)-99(a)
est réel. Notons aussi que /9 9 (b) - 99 (a) / = /j (b) - f(a) I .
En appliquant la première partie de la démonstration à l'application 9, on
obtient :
lf(b) - f(a) / = /99(b) - 99 (a) / � (b - a) s u p /9é (x) / = (b - a) s u p /J '(x) I .
xE]a,b[
x E)a,b[
Le résultat est démontré.
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<3 > Voir le théorème 16.2 p. 731 du Cours de p1·emière année.