162
Fonctions complexes d'une variable réelle
4.1.3 Intégrabilité
On dit qu'une application f définie sur un intervalle [a, b] de IR., à valeurs complexes, est Riemann-intégrable sur [a, b] si les applications réelles de la variable
réelle Re(!) et Im(f) sont toutes les deux Riemann-intégrables sur [a, b]. On
appelle alors intégrale de f sur [a, b) et on note J: f(x) dx le complexe
1 b f(x) dx = 1 b Re(f)(x) dx + i 1 b Im(f)(x) dx.
Exemple Les fonctions sinus et cosinus étant continues sur [O, Î], elles sont
Riemann-intégrables sur cet intervalle. La fonction f : x E IR. � ei x est par
conséquent Riemann-intégrable sur [O, î] et
(i .
(i
rt
1
1
Jo e• x dx = Jo cos(x) dx + i Jo sin(x) dx = J2 + i(l - J2).
4.1.4 Applications bornées
On dit qu'une application f définie sur sous-ensemble X de IR., à valeurs complexes, est bornée sur X si
3K E JR. + \:lx EX lf(x)I � K.
On en déduit qu'une application f d'un sous-ensemble X de IR. dans C n'est
pas bornée sur X si
Exemples
\:/K E JR. + 3x EX lf(x)I >K .
1. L'application f : x E IR.� cos(x) + isin(x) E C est bornée sur IR. puisque
\:lx E IR. lf(x)I = Jcos2(x) + sin 2 (x) = 1.
2. L'application f : x E IR. � ax + {3 E C, où (a, {3) E C* x C, n'est pas bornée.
En effet, pour tout K E JR. + , on peut trouver un réel x tel que lf(x)I > K; il
suffit de prendre x = (K + 1 + lfJl )/la l car on a alors
lf(x)I = lax + fJI ? llaxl - lfJll = K + 1 >K .
Toutefois, la restriction de f à un intervalle I borné de IR. est une application
bornée. En notant a et b les extrémités de I, on a en effet, pour tout x E I,
lf(x)I = lax + fJI � lai l xl + lf31 � lai max{ lal , lb ! } + lfJI .