Fonctions complexes de la variable complexe
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Dire que f est continue en xo équivaut à dire que les deux fonctions réelles de
la variable réelle Re(!) et Im(f) sont continues en xo.
On dit que f est continue sur X si pour tout x E X, l'application f est continue
en x. On note C 0 (X, sur X. Il s'agit d'un espace vectoriel sur On dit que f est continue sur l'intervalle fermé borné [a, b] si les applications
réelles de la variable réelle Re(!) et Im(f) sont continues sur [a, b] , i.e. si pour
tout x E]a, b[ elles sont continues en x et si, de plus, elles sont continues à droite
en a et à gauche en b.
4.1.2 Dérivabilité
On dit qu'une application f d'un sous-ensemble X de lR à valeurs dans dérivable en xo E X si la quantité
b.f x o (x) = f(x) - f(xo) = Re(f)(x) - Re(f)(xo) + i Im(f)(x) - Im(f)(xo)
X - Xo
X - Xo
X - Xo
admet une limite lorsque x tend vers xa. Cette limite notée f'(xo) est appelée
(n ombre} dérivée de f en xa.
On dit que f est dérivable sur l'ensemble A c X si, pour tout x E A, f est
dérivable en x. On appelle alors dérivée de f et on note f' l'application qui à
x E A associe le complexe f'(x).
On montre que l'application f est dérivable en x E X si et seulement si les
deux applications réelles d'une variable réelle Re(!) et Im(f) sont dérivables
en x ; on a alors
J'(x) = Re(f)'(x) + i im(f) '(x) = Re(j'(x)) + i im(f '(x)).
Exemples
1. L'application f: x E lR f-+ cos(x) + isin(x) E sur JR. Pour tout x E lR on a f'(x) = - sin(x) + icos(x). On remarquera qu'en
introduisant la notation exponentielle complexe, cette dernière relation s'écrit :
2. L'application f : X E JR f-+ o:x + /3 E dérivable sur R Pour tout x E lR on a f'(x) = o:.
Comme dans le cas des fonctions de lR dans IR, on peut définir par récurrence
la dérivée d'ordre k (k E N*) d'une fonction f de lR dans de la manière suivante : f( l ) = f' et, pour tout f E N avec 2 � f � k,
f(e) = u(e-1))' .
On dit que f est de classe C k sur X si f admet une dérivée d'ordre k (k E N*)
sur X qui est continue. On note C k (X, dans que Im(f) et Re(!) sont de classe C k sur X.