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Fonctions complexes d'une variable réelle
4. 1 Fonctions complexes d'une variable réelle
Considérons une application f d'un sous-ensemble X de lR à valeurs dans IC qui
à un réel x associe le complexe f(x). Puisque f(x) dépend de la variable x, sa
partie réelle et sa partie imaginaire dépendent aussi de x. Ainsi, étant donné
une fonction f de X dans IC, il existe deux fonctions fr et fi de X dans lR
(déterminées de manière unique) telles que pour tout x EX
f(x) = fr (x) + i fi (x).
On note fr = Re(!) et fi = Im(f).
L'ensemble A(X, q des applications de X dans IC est un espace vectoriel sur IC.
4.1.1 Limite et continuité
On dit que f admet pour limite le complexe e en Xo E X si :
où lx - xo 1 désigne la valeur absolue de x - xo et
lf(x) - f i = J(Re(f(x) - € ))2 + (Im(f(x) - € ))2
désigne le module de f(x) - e.
Dire que f admet pour limite e en Xo équivaut à dire que les deux fonctions
réelles de la variable réelle Re(!) et Im(f) ont pour limite en x0 respectivement
Re(f) et Im(f). En effet, d'une part
IRe(f(x)) - Re(f)I = IRe(f(x) - f)I ::::; lf(x) - e1
et IIm(f(x)) - Im(f)I = IIm(f(x) - f)I ::::; lf(x) - e1
donc si f admet pour limite f en Xo alors
lim IRe(f(x)) - Re(f)I = lim IIm(f(x)) - Im(f)I = 0
X-+Xo
X-+Xo
autrement dit lim Re(f(x)) = Re(R) et lim Im(f(x)) = Im(f). D'autre part,
x -+ xo
x--+xo
on a
lf(x) - e1 = IRe(f(x)) - Re(f) + i(Im(f(x)) - Im(f)) I
::::; IRe(f(x)) - Re(f)I + IIm(f(x)) - Im(f)I
donc si les deux fonctions Re(!) et Im(f) ont pour limite en xo respectivement
Re(f) et Im(f) alors lim lf(x) - e1 = 0, i.e. f admet pour limite e en Xo.
x--+xo
On dit que f est continue en xo E X si :
VE: E JR+ 371 E JR+ Vx EX (lx - xo l ::::; rJ =? lf(x) - f(xo)I ::::; ê ) ,
où lf(x) - f(xo)I désigne le module de f(x) - f(xo).