CHAPITRE 4
Introduction aux fo nctions
complexes de la variable complexe
Une fonction de lR dans C n'est autre que la donnée simultanée de deux fonctions de lR dans IR (la partie réelle et la partie imaginaire) et les propriétés de
telles fonctions sont des généralisations assez immédiates de celles des fonctions
de IR dans IR. Il en va tout autrement des fonctions de C dans C qui possèdent de
nombreuses propriétés très particulières par rapport aux fonctions de IR dans IR
en liaison avec la notion de dérivabilité.
On dit qu'une application f de C dans C est C-dérivable en zo E C si la
limite (l) lim z--+z o f ( z )- f( z o ) existe et est finie. Il s'agit là de la généralisation
z - z o
naturelle
c2> de la définition de la dérivabilité pour les applications de lR dans IR.
Toutefois, les applications C-dérivables en chaque point zo d'un ouvert U de C
(on parle de fonction holomorphes sur U) ont des propriétés spécifiques que
ne possèdent pas les fonctions de la variable réelle dérivables. Citons à titre
d'exemple le fait qu'une application holomorphe sur un ouvert U de C (donc
une fois C-dérivable en chaque point de U) est indéfiniment C-dérivable sur U
(autrement dit, admet des dérivées successives à tout ordre en tout point U).
On montre aussi qu'une application f de C dans C qui est holomorphe et qui
vérifie f ( �) = 0 pour tout n E N* est nulle sur C. On peut également citer
comme propriété des fonctions holomorphes le principe du maximum : si f est
une fonction holomorphe sur un ouvert connexe U de C et si lfl (le module
de f) admet un maximum local en un point zo E U alors f est constante sur U.
Les trois propriétés que nous venons de citer sont bien entendu fausses dans
le cas des fonctions de la variable réelle dérivables.
Ce chapitre est entièrement consacré à l'étude des fonctions complexes de la
variable complexe. Après avoir introduit quelques notions de topologie du plan
complexe, nous étudierons les notions de limite, de continuité et de dérivabilité
pour les fonctions complexes de la variable complexe. Nous apporterons également quelques compléments aux chapitres précédents consacrés aux suites et
séries de fonctions dans le cas de la variable complexe.
(l) Les différentes notions concernant les fonctions de CC dans CC évoquées ici seront abordées
en détail ultérieurement dans le chapitre.
(2) Voir la définition 16.1 p. 713 du Cours de première année.
Introduction aux fo nctions
complexes de la variable complexe
Une fonction de lR dans C n'est autre que la donnée simultanée de deux fonctions de lR dans IR (la partie réelle et la partie imaginaire) et les propriétés de
telles fonctions sont des généralisations assez immédiates de celles des fonctions
de IR dans IR. Il en va tout autrement des fonctions de C dans C qui possèdent de
nombreuses propriétés très particulières par rapport aux fonctions de IR dans IR
en liaison avec la notion de dérivabilité.
On dit qu'une application f de C dans C est C-dérivable en zo E C si la
limite (l) lim z--+z o f ( z )- f( z o ) existe et est finie. Il s'agit là de la généralisation
z - z o
naturelle
c2> de la définition de la dérivabilité pour les applications de lR dans IR.
Toutefois, les applications C-dérivables en chaque point zo d'un ouvert U de C
(on parle de fonction holomorphes sur U) ont des propriétés spécifiques que
ne possèdent pas les fonctions de la variable réelle dérivables. Citons à titre
d'exemple le fait qu'une application holomorphe sur un ouvert U de C (donc
une fois C-dérivable en chaque point de U) est indéfiniment C-dérivable sur U
(autrement dit, admet des dérivées successives à tout ordre en tout point U).
On montre aussi qu'une application f de C dans C qui est holomorphe et qui
vérifie f ( �) = 0 pour tout n E N* est nulle sur C. On peut également citer
comme propriété des fonctions holomorphes le principe du maximum : si f est
une fonction holomorphe sur un ouvert connexe U de C et si lfl (le module
de f) admet un maximum local en un point zo E U alors f est constante sur U.
Les trois propriétés que nous venons de citer sont bien entendu fausses dans
le cas des fonctions de la variable réelle dérivables.
Ce chapitre est entièrement consacré à l'étude des fonctions complexes de la
variable complexe. Après avoir introduit quelques notions de topologie du plan
complexe, nous étudierons les notions de limite, de continuité et de dérivabilité
pour les fonctions complexes de la variable complexe. Nous apporterons également quelques compléments aux chapitres précédents consacrés aux suites et
séries de fonctions dans le cas de la variable complexe.
(l) Les différentes notions concernant les fonctions de CC dans CC évoquées ici seront abordées
en détail ultérieurement dans le chapitre.
(2) Voir la définition 16.1 p. 713 du Cours de première année.