par ailleurs, la fonction x f-t x � i n'est pas bornée en 1, on a et par conséquent ((x) � x � i .
d) Comme l'application t E [1, +oo[f-t fr est décroissante, pour tout n E N*,
1
n + i
1
1
1
n + l 1
1
n + l 1
1
--- dt =
!(
- dt !(
- dt = - .
n
(n +l) x
(n +l) x ""' n t x ""' n n x
n x
On en déduit que la quantité ef>n (x) = ,;. .. - J: + l fr dt vérifie
1
1
0 � ef>n(x) � n x - (n + 1) x
Ainsi, pour tout x E IR'.f- et pour tout n EN* on a
n
n ( 1 1 )
1
0 � (; k (x) � (; kx - ( k + l) x = 1 - (n + l) x '
En passant à la limite quand n tend vers +oo, on obtient par le théorème
d'encadrement : 0 � Comme pour tout x E IR'.f- et pour tout n EN* on a ef>n(x) ;;?: 0, on en déduit que
+ oo
1
2
1
1
n (x) ;;?:

1
t X
X - 1
n = l
On en conclut que pour tout x E IR'.f- on a: 1 + x � i (21- x - 1) � En passant à la limite quand x tend vers +oo, on obtient par le théorème
d'encadrement : lim x -. + oo que lim ((x) = 1.
x->+oo
4 - L'étude qui précède permet de dresser le tableau de variation suivant pour
la fonction ( :
X
1
+oo
( ' (x)
-
+oo
((x)
� 1
La représentation graphique de la fonction ( de Riemann est donnée p. 141.