Séries de fonctions
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et sup l � (x) I �
b
+l ln(n + 1). Or 1
+
1 ln(n + 1) rv l
+i ln(n) et la série
xE[a,b]
n a
n a
+oo n a
de Bertrand L n n " (
h:( n)) ï3 converge si et seulement si (a > 1) ou (a = 1 et
f3 > 1). On en déduit que puisque a> 0, la série L n n a b +1 ln(n + 1) converge.
La série de fonctions L n � converge donc normalement sur (a, bJ pour tout
(a,b) E IR 2 avec 0 e) On applique le théorème 3.9 p. 139 à la série de fonctions L n n sur
[a, b] pour (a, b) E IR 2 avec 0 < a < 1 < b. On a établi que :
- pour tout n E N* l'application n est de classe c i sur (a, b] ;
- la série L n � converge normalement donc uniformément sur [a, bJ ;
- la série numérique de terme général n(l) converge.
On en conclut par le théorème 3.9 que la série L n n converge simplement sur
[a, bJ vers une application : x E (a, b] f--+ L�:O n(x) qui est de classe c i sur
[a, b] et qui vérifie '(x) = L�:O � (x).
Il reste à justifier que est de classe c i sur )0, +oo[, c'est-à-dire que pour tout
x E)O, +oo[, l'application est continue en x, dérivable en x, à dérivée continue
en x. Soit x E)O, +oo[ fixé.
- Si x E)O, 1[, posons a= �x et b = 1 + x ; on a 0 - Si x E [1, +oo[, posons a= � et b = 1 + x ; on a 0 Comme est de classe c i sur [a, b] et que x E [a, b] , l'application est continue
en x, dérivable en x, à dérivée continue en x. On en conclut que est de
classe c i sur JO, +oo(.
3 - a) Pour tout x EJl, +oo(, on a (x) = limn .... .. +oo L � =i k (x) et
n
n r k +i ( 1 1 ) n 1
n t+ l 1
t; k (X) = t; J k kX - t X dt = t; kX - t; J k t X dt
n 1 J n+ l 1
n 1
1 ( 1 )
= L kX -
t X dt = L kX - X - 1 1 - n i- x .
k =i
i
k =i
En passant à la limite quand n tend vers +oo, on en déduit que
Remarques
1
(x) = Ç(x) - - 1 ,
x -
i.e.
1
Ç(x) = (x) + -.
x - 1
1. Bien que soit définie sur JO, +oo(, la relation
1
J +oo 1
(x) = Ç(x) - - = Ç(x) -
- dt
X - 1
i t X
n'est valable que sur Jl, +oo(. Sur JO, lJ la série L n n i X diverge tout comme
l'intégrale généralisée f i
+ = f:c dt mais leur différence est bien définie.