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Solutions des exercices
On a donc pour x E]O, l[U]l, +oo[ et n E N*,
1 n + l (ln(n) _ ln(t) ) dt =
n
n x
t x
ln(n) -
1 n + l ln(t) dt
n x
n
t x
ln(n) [ ln(t)
1
J
n + l
n;- - (x - 1) t x - l - (x - 1)2 t x - l n
= ln(n) + _ 1 _
1
( ln(n + l) + _ 1 _ )
n x
x - 1 (n + l) x - l
x - 1
- x � 1 n x
1
- 1
( ln(n) + x � 1 )
-if.i � (x).
Par ailleurs, pour x = 1,
ln(n) -
1 n + l ln(t) dt = ln(n) _ [� ln(t) 2 J
n + l
n
n
t
n
2
n
ln(n) 1
1
---:,; ;:- -- - 2 ln(n + 1) 2 + 2 in(n) 2 = if.i� (l).
La relation est donc vraie pour tout x E]O, +oo[.
d) La série de fonctions L n;;;. l if.i � converge normalement sur tout intervalle
[a, bJ où 0 < a < b si la série numérique de terme général sup xE[a, b ] lif.i �(x)I
converge. On a
Appliquons le théorème des accroissements finis < 17 >
g : y E IR'f- 1-+ ln(y)/y x entre n E N* et t > n pour x E
dérivable sur IR'.1_) : il existe un réel c E]n, t[" tel que
à l'application
[a, bJ fixé (g est
1 - xln(c)
g(t) - g(n) = (t - n) g ' (c) = (t - n) c x+l
·
On en déduit que pour tout x E [a, b] , on a
1 ,1 . / ( ) 1 = 1 1 n + l
( - ) 1 - xln(c) d 1 1 n + l
( - ) I l - xln(c) I d
'l'n X
t n c x+l
t �
t
n
c x+l
t.
n
n
Pour t E [n, n + 1] on a 0 � t - n � 1 et n < c < n + 1. On a donc
1 1 - xln(c) I = xln(c) - 1 � xln(c) � xln(n+ 1).
On en déduit que
1 n +l 1
X
lif.i � (x)I � n n x+l xln(n + 1) dt = n x+l ln(n + 1)
< •7lVoir le théorème 16.2 p.731 du Cours de première année.