Séries de fonctions
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c) On a sup xE]i , + oo( 1 n i "' 1 = �- Comme la série L n � diverge, la série de
fonctions L n ;x ne converge pas normalement sur ]l, +oo[.
2 - a) Calculons 1>n(l). On a
1 n +i (1 1 ) 1 1 n +i 1 1 (n+ 1 )·
1>n (l ) =
- - - dt = - -
- dt = - - ln -- .
n
nt
n n t
n
n
On a ln(�) = ln(l + �) = � + � + 0 + 00 (,&) donc 1>n(l) + � �- On en
déduit que la série L n 1>n(l) est une série numérique à termes négatifs à partir
d'un certain rang et comme la série numérique L n � converge, L n 1>n(l)
converge aussi.
b) Pour n EN* et x E]O, +oo[ on a
1 n +i ( 2- - 2-) dt = _!_ - J
n + l _!_ dt + J n _!_ dt
n
n X t X
n X i t X
i t X
n - x - �n +i (x) + �n(x).
Comme �n est de classe c i sur .IR et que X 1--+ ;,, est de classe c i sur .IR, on
en déduit que 1>n de classe c i sur .IR et donc sur ]O, +oo[. D'après le préambule
pour x E]O, l [U] l + oo[ on a
et
1>�(x)
(�"' )
' - �� + l (x) + �� (x)
_
ln(n) _ _ 1_
1
( ln(n + l) + _ 1_ )
n x x - 1 (n + l) x - i
x - 1
+ x � 1 n x
1
- i
( ln(n) + x � 1 ) ·
,
ln(n) 1 2
1 2
ln(n) 1
1
1> (1) = -- + -ln (n+ 1) - -ln (n) = - - +-ln(l +-) .
n
n
2
2
n
2
n
c) Pour x E]O, l [U] l, +oo[ et t E]l, +oo[, on obtient en primitivant par
parties :
J ln(t) dt =
t X
_ 1 _ ln(t) __ 1 _ j _!_ dt
1 - X t x - i 1 - X t x
ln(t)
1
+ C (C E .IR).
(x - 1) t x - i (x - 1)2 t x - i