154
Solutions des exercices
Illustrons à l'aide de MAPLE la méthode étudiée dans cet exercice en considérant
le calcul d'une valeur approchée de l'intégrale f 0
1 t7r t " dt. On peut représenter
graphiquement le comportement de l'erreur En en fonction de la valeur de n.
Afin d'avoir une figure lisible, on représente - log 1 0( En) en fonction de n.
> a:=Pi:b:=Pi :
> E := n-> (1/a)*(a/((n+1)*b+1))-(n+2) :plot(-log10(E(x)),x=1 .. 20) ;
20
18
16
14
12
Y10
8
6
4
2
0 2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
X
Par exemple, pour n = 8, on lit sur la figure une valeur voisine de 10, ce qui
signifie que l'erreur est de l'ordre de 10 - 1 0 ; 88 approche la valeur de I avec 10
chiffres significatifs.
> S:=n-> sum((-1)-k*a-k/((b*k+1)-(k+l)),k=O .. n) :
> evalf(S(8)) ;
.8 399666383
On peut comparer cette valeur à celle obtenue par MAPLE en utilisant une
quadrature numérique.
> evalf(int(t-(a*t-b),t=0 .. 1)) ;
.8 399666382
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.9
1 - a) La série L n ,!,, est une série de Riemann ; elle converge si et seulement
si x> 1. L'ensemble de définition de la fonction ( est donc ]1, +oo[.
b) Soient (x, y) E]l, +oo[2 tel que x < y; montrons que ((x) > ((y). On a
+oo ( 1 1 ) +oo y x
((x)
_
((y)
= '°' _ _ _ =
'°' n - n
� n x n Y
� n x n y
n=l
n=l
y
X
y
X
Comme X < y, on a n x < nY et donc n
n ,, - n � > o. La série L n n
n ,, - n � est une
série à termes strictement positifs, convergente (c'est la différence de deux séries
convergentes). On en déduit que sa somme ((x) - ((y) est un réel strictement
positif. On a donc ((x) > ((y). On en conclut que la fonction ( est strictement
croissante.