et
Séries de fonctions
lim ln(x)è 111( x ) = lim ye by = 0
X--+O+
y --+-00
153
d'où lim x --+ O + fn (x) = 0 = fn (O) . On en déduit que fn est continue sur [O, 1] et
par conséquent que f n est Riemann-intégrable sur [O, l].
- La série L n fn converge uniformément sur [O, l].
D'aprè� le théorème 3.8, f est Riemann-intégrable sur [O, 1] et
rl
+oo 1
+oo rl 1
l n f(x) dx = L 1 fn(x) dx = L l n 1 ( ax b ln(x)r dx.
0
n =O 0
n =O 0 n .
4 - a) Pour montrer que Ia , n = - a � l Ia , n -1 pour tout n E N*, on intègre par
parties:
la n = [1 - t a + 1 1n(tr]
1
__
n _
f1
t a ln(t) n -l dt = Ia , n - 1·
'
a+ 1
o a+ 1
l
o
= 0
b) Un raisonnement par récurrence, que nous omettons de détailler, permet
d'en déduire que Ia , n = (- l) n (a
�b n Ia ,O ·
Comme Ia ,o = f 0
1 t a dt = a � l on a finalement Ia , n = (- l r (a
+�) n+I .
5 - a) On a montré que f 0
1
t
a tb
dt = L
�:O
�� f 0
1 ( t b ln(t)
t dt. On en déduit que
+oo n
+oo n
n !
L ;In b , n = L ;(-l) n
(nb + l) n +l
n =O n.
n =O n.
N
n
lim "" (- l) n
( b
a
) +l = lim S N .
N--++oo
�
n + 1 n
N--++oo
n =O
b) La série L n (- 1 r ( n b .:;) n fl est une série numérique alternée convergente
(sa somme vaut f 0
1 tat
b
dt). D'après la proposition 1.15 p. 44, son reste d'ordre n
qui est donné par
+oo
k
1 1
""
k
a
a tb
R n= � (- 1) (kb + I) k +l =
t dt - Sn
k = n +l
0
est borné par le terme de rang n + 1 de la série ; on a
I R 1 $'.'.
a
- -
a
n +l
l (
) n + 2
11 � ((n + l)b + l) n + 2
- a (n + l)b + 1
,
r 1 tb
c) Une valeur approchee de I = J o t a dt peut être obtenue en calculant
la somme S11 = L � = 0 (- l) k ( kb .;;) k+i pour une valeur de n« assez grande ».
Pour n E N donné, l'erreur commise en approchant I par Sn est inférieure à
(
) n + 2
En = � (n+
�
) b +l
.