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Solutions des exercices
Pour déterminer la valeur de ce supremum, étudions l'application
'l/J : x E]- oo, 0] 1--+ x eb x . Cette application est dérivable et pour tout x E]- oo, O]
on a 'l/J'(x) = è x (l - bx). On a donc 'l/J'(x) = 0 si et seulement si y= - l/b. On
en déduit le tableau de variation suivant pour 'l/J :
X
-OO
-i
0
'l/J' (x)
-
0
+
0
0
'l/J(x)
�
/
1
- ;,;
On en conclut que sup x E]O,i] lx b ln(x)I = !ï;.
b) Pour montrer que la série L n fn converge uniformément sur [O, 1], nous
allons montrer qu'elle converge normalement sur [O, 1] en montrant que
Un = sup xE( O,l] lfn (x)I est le terme général d'une série numérique convergente.
On a
Un = sup JA(ax b ln(x)r J = a � ( sup lx b ln(x)l )
n
= -d-i (� b )
n
.
xE]O ,l] n .
n . xE] O,l]
e n.
La série numérique L n Un est une série à termes strictement positifs pour
laquelle
a 1
Un eb n+l
tend vers O. La critère de D'Alembert nous assure que la série numérique L n Un
converge. On en conclut que la série L n f n converge normalement et donc
uniformément sur [ü, l].
Pour tout x E]O, 1], on a
'°" +oo n
car un=O � = eY pour tout y E R De plus, pour x = 0 on a
+oo
+oo
L fn(O) = fo (O) + L fn (O) = fo (O) = l.
n=O
n=l "-v-" = 0
On en conclut que pour tout x E [O, 1] on a L�:O fn(x) = f(x).
3 - Utilisons le théorème 3.8 p. 136.
- Pour tout n E N, l'application f n est continue sur ]O, 1] (car la fonction
puissance b et la fonction logarithme sont continues sur JO, 1]). Pour x E]O, 1]
on a
1
a n
(
)
n
fn (x) = - (ax b ln(x)r = - ln(x)e b ln ( x )
n!
n!