Séries de fonctions
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et cette quantité tend vers e- a qui est un réel strictement inférieur à 1 puisque
a > O. On en déduit que la série de fonctions L n � I � e - n x converge normalement et par conséquent uniformément sur Ja, +oo[.
Il n'y a pas convergence normale de cette série sur JO, +oo[ car
sup lgn(x)I = 9n(O) = �
x E]O, + oo(
et la série L n � I � diverge. On ne peut toutefois pas affirmer qu'il n'y a pas
convergence uniforme sur JO, +oo[.
b) L'application elle est dérivable en xo. Soit xo un réel strictement positif fixé et a= !xo ; on
a xo E)a, +oo[. On a montré que
- pour tout n EN, J n est dérivable sur Ja, +oo[ et J� = -gn ;
- la série de fonctions L n � I 9n converge uniformément sur Ja, +oo[ ;
- la série de fonctions L n �l fn converge simplement sur Ja, +oo[.
D'après le théorème 3.10, la somme dérivable sur Ja, +oo[. Elle est donc dérivable en x0 et
+oo
q / (xo) = - L � e -k x o.
k =l
On ne peut bien entendu rien conclure à ce niveau en ce qui concerne la dérivabilité de cf> en 0 sans qu'une étude spécifique ne soit menée.
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.8
1 - En utilisant l'écriture exponentielle des fonctions puissances réelles, on obtient pour x EJO, lJ
J(x) = exp(aln(x)x b ) = exp(a ln(x) exp(bln(x))).
La fonction logarithme étant continue sur JO, lJ et la fonction exponentielle
étant continue sur � ' f est continue sur JO, lJ. De plus, a et b étant strictement
positifs on a
lim aln(x) exp(xln(b)) = lim ay exp(by) = �
b lim zexp(z) =O.
x -+O +
y -+ - oo
z-+ - oo
Puisque la fonction exponentielle est continue en 0 et prend la valeur 1, on en
déduit que f est prolongeable par continuité à droite en 0 en posant f(O) = 1.
Comme f est continue sur [O, lJ, elle est Riemann-intégrable sur [O, lJ et le réel
f01 t a t b dt existe bien pour a et b réels strictement positifs.
2 - a ) On a sup x E J O,l] lx b ln(x) 1 = sup x E J O,l] l ln(x) exp(b ln(x)) 1 et comme la
fonction logarithme est une bijection de JO, lJ dans J - oo, OJ, on a
sup xE]O ,lj l x b ln(x)I = SUP y e] - oo,O] i y è YI.
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et cette quantité tend vers e- a qui est un réel strictement inférieur à 1 puisque
a > O. On en déduit que la série de fonctions L n � I � e - n x converge normalement et par conséquent uniformément sur Ja, +oo[.
Il n'y a pas convergence normale de cette série sur JO, +oo[ car
sup lgn(x)I = 9n(O) = �
x E]O, + oo(
et la série L n � I � diverge. On ne peut toutefois pas affirmer qu'il n'y a pas
convergence uniforme sur JO, +oo[.
b) L'application elle est dérivable en xo. Soit xo un réel strictement positif fixé et a= !xo ; on
a xo E)a, +oo[. On a montré que
- pour tout n EN, J n est dérivable sur Ja, +oo[ et J� = -gn ;
- la série de fonctions L n � I 9n converge uniformément sur Ja, +oo[ ;
- la série de fonctions L n �l fn converge simplement sur Ja, +oo[.
D'après le théorème 3.10, la somme dérivable sur Ja, +oo[. Elle est donc dérivable en x0 et
+oo
q / (xo) = - L � e -k x o.
k =l
On ne peut bien entendu rien conclure à ce niveau en ce qui concerne la dérivabilité de cf> en 0 sans qu'une étude spécifique ne soit menée.
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.8
1 - En utilisant l'écriture exponentielle des fonctions puissances réelles, on obtient pour x EJO, lJ
J(x) = exp(aln(x)x b ) = exp(a ln(x) exp(bln(x))).
La fonction logarithme étant continue sur JO, lJ et la fonction exponentielle
étant continue sur � ' f est continue sur JO, lJ. De plus, a et b étant strictement
positifs on a
lim aln(x) exp(xln(b)) = lim ay exp(by) = �
b lim zexp(z) =O.
x -+O +
y -+ - oo
z-+ - oo
Puisque la fonction exponentielle est continue en 0 et prend la valeur 1, on en
déduit que f est prolongeable par continuité à droite en 0 en posant f(O) = 1.
Comme f est continue sur [O, lJ, elle est Riemann-intégrable sur [O, lJ et le réel
f01 t a t b dt existe bien pour a et b réels strictement positifs.
2 - a ) On a sup x E J O,l] lx b ln(x) 1 = sup x E J O,l] l ln(x) exp(b ln(x)) 1 et comme la
fonction logarithme est une bijection de JO, lJ dans J - oo, OJ, on a
sup xE]O ,lj l x b ln(x)I = SUP y e] - oo,O] i y è YI.