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Solutions des exercices
Par ailleurs, si x= 0 on a fn (x) = 0 pour tout n E N donc la série L n fn est
la série nulle et a pour somme O.
On en conclut que la série L n ( 1+�2 )n converge simplement sur IR et a pour
somme l'application
si x:f:O
Si X = Ü
2 - Pour tout n E N, l'application f n est continue sur lR car il s'agit d'une
fonction rationnelle sans pôle réel. Par contre, l'application if> n'est pas continue
en 0 car lim x _,o+ ef>(x) = +oo. Si la série L n fn convergeait uniformément sur lR
alors, d'après le théorème 3.7, sa somme if> serait une application continue sur IR.
Comme ce n'est pas le cas, on peut affirmer que la série L n fn ne converge pas
uniformément sur IR.
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.7
1 - Les fonctions fn sont définies sur IR, mais pour tout x < 0 fixé, f n(x)
tend vers +oo quand n tend vers +oo. On en déduit que la série de fonctions
L n ;;, l fn diverge grossièrement sur ] - oo, O[.
Pour tout réel x � 0 et pour tout n E N* on a -nx � 0 donc 0 < e - n x � 1.
On en déduit que :
Vn E N* Vx E IR +
1
0 < fn (x) � 2· n
Comme la série de Riemann L n ;;, l l/n 2 converge, on en déduit que la série
L n ;;, l f n converge normalement sur IR + . On a en particulier convergence simple
sur IR + . L'ensemble de définition de if> est par conséquent V = IR + .
2 - Pour tout n E N*, l'application fn : x E JR +
f-+ � e- n x est clairement
continue. Comme la série L n ;;, l fn converge normalement sur JR + , elle converge
uniformément sur IR + . D'après le théorème 3. 7, la somme if> de la série de
fonctions L n ;;, l f n est une application continue sur IR + .
3 - a) Soit a un réel strictement positif. Considérons la série d'applications de
terme général 9n : x E]a, +oo[f-+ � e - n x . Comme la fonction exponentielle est
positive et strictement croissante sur IR, les applications 9n sont positives et
strictement décroissantes sur ]a, +oo[. On a donc
1
sup lgn(x)I = 9n(a) = - .
xE]a , + oo[
n e n a
Il est aisé de vérifier, par exemple, en utilisant le critère de D'Alembert, que la
série numérique L n ;;, l n .!,,0 converge. On a
1 Un + l
I
ne n a
n - a
-;:- - = (n + l)eC n + l ) a n + 1 e
Solutions des exercices
Par ailleurs, si x= 0 on a fn (x) = 0 pour tout n E N donc la série L n fn est
la série nulle et a pour somme O.
On en conclut que la série L n ( 1+�2 )n converge simplement sur IR et a pour
somme l'application
si x:f:O
Si X = Ü
2 - Pour tout n E N, l'application f n est continue sur lR car il s'agit d'une
fonction rationnelle sans pôle réel. Par contre, l'application if> n'est pas continue
en 0 car lim x _,o+ ef>(x) = +oo. Si la série L n fn convergeait uniformément sur lR
alors, d'après le théorème 3.7, sa somme if> serait une application continue sur IR.
Comme ce n'est pas le cas, on peut affirmer que la série L n fn ne converge pas
uniformément sur IR.
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.7
1 - Les fonctions fn sont définies sur IR, mais pour tout x < 0 fixé, f n(x)
tend vers +oo quand n tend vers +oo. On en déduit que la série de fonctions
L n ;;, l fn diverge grossièrement sur ] - oo, O[.
Pour tout réel x � 0 et pour tout n E N* on a -nx � 0 donc 0 < e - n x � 1.
On en déduit que :
Vn E N* Vx E IR +
1
0 < fn (x) � 2· n
Comme la série de Riemann L n ;;, l l/n 2 converge, on en déduit que la série
L n ;;, l f n converge normalement sur IR + . On a en particulier convergence simple
sur IR + . L'ensemble de définition de if> est par conséquent V = IR + .
2 - Pour tout n E N*, l'application fn : x E JR +
f-+ � e- n x est clairement
continue. Comme la série L n ;;, l fn converge normalement sur JR + , elle converge
uniformément sur IR + . D'après le théorème 3. 7, la somme if> de la série de
fonctions L n ;;, l f n est une application continue sur IR + .
3 - a) Soit a un réel strictement positif. Considérons la série d'applications de
terme général 9n : x E]a, +oo[f-+ � e - n x . Comme la fonction exponentielle est
positive et strictement croissante sur IR, les applications 9n sont positives et
strictement décroissantes sur ]a, +oo[. On a donc
1
sup lgn(x)I = 9n(a) = - .
xE]a , + oo[
n e n a
Il est aisé de vérifier, par exemple, en utilisant le critère de D'Alembert, que la
série numérique L n ;;, l n .!,,0 converge. On a
1 Un + l
I
ne n a
n - a
-;:- - = (n + l)eC n + l ) a n + 1 e