Séries de fonctions
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Ainsi,
sup lfn (x)I ,,;; (b - a) 11/� ll oo,[ a , b ] + / fn (a) / .
xE[a , b ]
Comme la série de fonctions L n f� converge normalement sur [a, b] , la série numérique L n / lf� ll oo,[ a , b ] converge. Par ailleurs, puisque la série Ln fn(a)
converge absolument, on en déduit que la série L n sup x Ej a , b ] lfn(x)I converge
c'est-à-dire que la série L n f n converge normalement sur [a, b] .
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.5
1 - Les fonctions f n sont définies sur IRt pour tout n E N*. Pour x E lR
fixé, la série numérique L n �2�: est une série alternée. Pour n E N* , notons
an= x 2� n . On a an > O et limn -+ + oo an = O. De plus, an+i/an = x f:�� 1 < 1
donc la suite (an)n converge vers O. Le critère spécial pour les séries alternées
(théorème 1.3 p. 42) permet d'en conclure que la série L n �2�: converge pour
tout x E JR. La série de fonctions L n f n converge donc simplement sur R
2 - a) Utilisons le critère spécial de convergence uniforme pour les séries alternées pour montrer que la série de fonctions L n fn converge uniformément
sur R Pour n E N*, posons 9n : x E lR i-+ x 2�n . Pour tout x E lR fixé, la suite
numérique (gn(x))n = (an)n est une suite à termes positifs, décroissante. De
plus, la suite d'applications (gn)n converge uniformément sur X vers l'application nulle puisque
1
1
1
1
sup --- = -
x EIR x2 + n n et
lim .! =O.
n-+ + oo n
On en déduit par le théorème 3.5 que la série d'applications L n f n converge
uniformément sur R
b) Montrons qu'il n'existe aucun intervalle de lR où la convergence de la
série L n f n est normale. Considérons un intervalle I de lR d'extrémités a et b
avec a< b.
- Si 0 E I alors SUP x E J lfn(x)I = SUP x E J 1 x 2� n 1 = �; comme la série L n �
diverge, on en déduit que la série L n fn ne converge pas normalement sur I.
- Si 0 tJ_ I alors sup x E J lfn (x)I = SllP x E J j x2� n / = c2� n OÙ c = min(lal , l bl);
comme la série L n 2 + 1 diverge (on a 2 1
+ rv 1.), on en déduit que la série
c
n
c
n + oo n
L n fn ne converge pas normalement sur I.
Ainsi, la série L n fn ne converge normalement sur aucun intervalle Ide R
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.6
1 - Pour x E lR* fixé, on a L n ( H�2)n = X L n ( 1 ) x 2 )
n et / 1 ) x 2 I < 1. La série
numérique L n ( H�2 )n est donc une série convergente. De plus,
+ oo X
+ oo ( 1 ) n 1
L (1 + x2) n = X L 1 + x2
= X 1 - �
n=O
n=O
l+x
1 +x 2
X