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Solutions des exercices
Si x= 0 alors Pn(x) =O. Pour tout x E JR* on a Pn(x) > 0 et
1
(2n + l)x 2 +1
P n (x) = - x2 ( I + x2) n + l < O.
La fonction Pn est donc positive et décroissante sur JR + .
Comme limx-o+ Pn(x) = +oo, on en déduit que I Pn l n'est pas majorée sur JR +
et donc que la suite (Pn)n ne converge pas uniformément vers l'application nulle
sur JR + . D'après le corollaire 3.1, on en déduit que la série de fonctions I: n f n
ne converge pas uniformément sur [O, +oo[.
Toutefois pour tout a > 0, on a SllPxE [a,+=l I Pn (x)I = Pn(a) = a(l)a2)" et
limx-o+ Pn(a) = 0 donc la suite (Pn)n converge uniformément vers l'application
nulle sur [a, +oo[.
On a ainsi établi que la série de fonctions I: n f n converge uniformément sur
[a, +oo[ pour tout réel a> 0 mais ne converge pas uniformément sur [O, +oo[.
SOLUTION DE L' EXERCICE 3.3
Nous avons établi au cours des exemples de la p. 117 que la série d'applications
L:n f n converge simplement sur JR+ .
Pour tout n E N* , l'application f n : x E JR+ t-t ne - nx est continue, positive
et strictement décroissante. On a donc Un = sup xE] O,+ � lfn (x) I = fn (O) = n.
Comme la série L: n Un diverge grossièrement, la série � n fn ne converge pas
normalement sur )0, +oo[.
Pour tout r E JR+ fixé, on a
Un = sup lfn(x)I = fn (r) = ne - nr .
xE [r,+=[
La série L:n Un converge car d'après le critère de D'Alembert, on a
1.
1 Un+l
I
l " n + 1 - r - r 1
1m -- = 1m -- e = e < .
n - += Un
n-++ On en déduit que la série I: n fn converge normalement sur [r, +oo[ pour tout
réel r >O.
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.4
Pour tout x E [a, b] on a lfn (x)I � lfn (x) - fn(a) I + lfn (a) I . D'après le théorème
des accroissements finis, il existe un réel c E]a, b[ tel que
lfn (x) - fn(a) I = (x - a) lf�(c) I .
Comme f� est continue sur [a, b] , elle est bornée (et atteint ses bornes). On en
déduit que pour tout x E [a, b]
lfn (x)I � (b - a) llJ� ll=,[ a ,b ] + lfn (a) I .