Séries de fonctions
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3.5 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.1
1 - Pour x E IR fixé, la série numérique L n cos(xr est une série géométrique
de raison cos(x). Elle converge si et seulement si 1 cos(x)I < 1, c'est-à-dire si
x E IR\ ?TZ. La série de fonctions L n cos(xr converge donc simplement sur
IR \ 7rZ. Pour x E IR \ 7rZ on a
+ oo
1
""cos(x) n = 1
( )
"
L..,
- COS X
n=O
2 - Pour x E IR fixé, la série numérique L n exp( -nx) est une série géométrique de raison e - x . Elle converge si et seulement si le -x i < 1, c'est-à-dire si
x E IR+ . On en déduit que la série de fonctions L n exp( -nx) converge simplement sur IR+ . Pour x E IR't- on a
n=O
+ oo
1
""exp(-nx) = -L..,
1 - e- X
3 - Pour x E IR fixé on a L n x(l - x) n = x L n (l - x) n et la série L n (l - x) n
est une série géométrique de raison 1 - x. Elle converge si et seulement si
I l - x i < 1, c'est-à-dire si x E]O, 2[. La série de fonctions L n x(l - x) n converge
donc simplement sur JO, 2[. Pour tout x E]O, 2[ on a
+ oo
+ oo
l
L x(l - x) n = x 2:(1-x t =X 1
_
(l
_
x) = 1.
n=O
n=O
SOLUTION DE L'EXERCICE 3.2
1 � Pour x E IR fixé, appliquons le critère de D'Alembert à la série numérique
de terme général Un = fn (x). Pour tout n EN, on a
I
Un + l
I
= _ 1 _ et e = lim
I
Un + l
I
= _ 1 _
Un
1 + x2
n-+ + oo Un
1 + x2 .
On en déduit que si x =f- 0 alors f, < 1 et la série numérique L n Un converge
absolument. Par ailleurs, si x= 0 alors le critère de D'Alembert ne permet pas
de conclure mais dans ce cas, fn (x) = fn (O) = 0 donc la série L n Un est la
série nulle qui converge. On en déduit que la série de fonctions L n f n converge
simplement (et même absolument) sur IR.
2 - Pour tout x E IR* on a 1 1 ; x 2 I < 1 et en utilisant les propriétés des séries
géométriques, on obtient
1
1
1
1 = x(l + x2) n ·
- l +x 2