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Exercices de synthèse
b) Montrer que ( est une application strictement décroissante sur D.
c) Y a-t-il convergence normale de la série L n ;::: i n i " sur D?
2 - On considère la série de fonctions L n >- i ( _!_ - _!_ ) dt.
"'
l n
n x t x
a) Calculer b) Montrer que pour tout n EN* et x E]O, +oo[ on a
En déduire que pour tout x E]O, +oo[.
c) En utilisant une primitivation par parties, montrer que pour tout x =f. 1
et t E [1, +oo[
J
ln(t) dt =
_
1
_
ln(t)
+ C (CE JR).
t x
(x - 1) 2 t x - i (x - 1) t x - i
En déduire que pour tout x E]O, +oo[ on a
n + l
(h�� ) - h:�t) ) dt.
d) Montrer que la série L n;::: i [a, b] où 0 < a < b. (Indication : on pourra utiliser l'expression de à la question précédente et appliquer le théorème des accroissements finis à la
fonction y i-+ y- x ln(y) pour x E [a, b] fixé.)
e) En utilisant les résultats du cours, conclure que la série de fonctions
L n ;::: i qui est de
classe c i sur ]O, +oo[.
1
3 - a) Montrer que pour tout x ED on a ((x) = -- + (x).
x-1
b) En déduire que ( est une application de classe c i sur D.
1
c) Montrer que ((x) "' -- .
i + X -1
d) Montrer que pour n EN* et x E !R:f. on a 0 � en déduire que 0 � (x) � 1 puis que (x) � 1-1 - (1 - 2 i - x ). En conclure
x-1
que lim ((x) = 1.
x-> +=
4 - Donner le tableau de variation de la fonction ( sur D ainsi que sa représentation graphique.