Séries de fonctions
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b
1 - Justifier que l'application x E]O, l] 1-t x ax est prolongeable en une application f continue sur [O, l].
2 - On considère la série d'applications L n f n définie par
fn : x E [0, lj i-+
{ �(axb ln(x)t si x E]0, 1]
0
si x = O
a) Justifier que sup lx b ln(x)I = sup lyèY I et calculer la valeur de ce
supremum.
xE j0, 1 ]
yE J-oo,0]
b) Montrer que L n fn converge uniformément sur [O, 1] et a pour somme f.
3 - Montrer que f
1
t at b dt = f � f
1
(atb ln(t)r dt.
J
o
n=O
n.
J
o
4 - Pour ΠE IR'.f. et n EN, on note Ia,n =
1
1 t°' (ln tt dt.
n
a) Montrer que pour tout n E N* on a I a n = - -- 1
l a n- 1 ·
'
a +
'
b) En déduire la valeur de Ia , n (en fonction de n et de a) .
n (-l) k a k
5 - Pour tout n EN, on note Sn = � (bk + l) k+l
·
a) Montrer que f
1
t at b dt = lim Sn .
J
o
n---+ +oo
b) Montrer que pour tout n E N*,
1 1•
t at b dt - Sn l
c) Interpréter ce résultat et conclure.
Exercice 3.9
1 ( a )
n + 2
::;::; � b(n + 1) + 1
Cet exercice utilise les résultats établis dans l'exercice 2.10 p. 96 où on étudie la
suite d'applications (1/Jn)n de terme général 1/Jn : x E lR 1-> Jt fr dt. Rappelons
que l'on a montré au cours de cet exercice que pour tout n E N*, l'application 1/Jn
est de classe C 1 sur JR et pour X E JR \ {1} ,
1/J � (x) = x � 1 n
x
1
_1 ( 1 n(n) + x � 1 ) et 1/J � (l) = -� ln 2 (n).
Par ailleurs on a établi que la suite de fonctions (1/Jn)n converge simplement
sur ]1, +oo[ vers 'ljJ: x E]l, +oo[i-+ x.:_ l .
On s'intéresse dans cet exercice à certaines propriétés de la fonction Zeta de Riemann, notée (, qui est la fonction de la variable réelle définie par
+ oo 1
(:Xi-+ "'""' -.
L.., nX
n=l
1 - a) Déterminer l'ensemble de définition D de la fonction (.