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Pn -1
Exercices de synthèse
1
, Pn -1 +2
1
Yn -1 Yn -1 +4
Io
Pn -1+ 1
Fig. 1 Représentation de la fonction fo sur l'intervalle
[pn-11Pn-1 + l].
nécessairement à un même intervalle : [pk, Pk +�[ou [pk + �,Pk + 1[. En effet,
aucun rationnel z multiple de � ne peut être compris strictement entre Y k et
Y k + 4 k - n en car
n - 1 - k
1
Yn - 1 < 4
Z < Yn -1 + 4·
Si z est un multiple de � ' pour tout k E {O, ... , n - 2} le rationnel 4 n -l- k z est
lui aussi multiple de � ce qui contredit le fait qu'avec le choix effectué pour la
valeur de ên les deux réels Yn - 1 et Yn - 1 + � appartiennent au même intervalle
!Pn - 1 ,Pn - 1 +�[ou !Pn -1 + � ,Pn - 1 + 1[ qui ne comprennent pas de multiple de
� dans leur intérieur.
De ceci, on déduit que
• fo (4 k xo + 4 k - n en) - fo (4 k xo) = 4 k - n ên si Y k E [pk , Pk + �[;
• fo (4 k xo + 4 k - n en) - fo (4 k xo) = _ 4 k - n ên si Y k E [pk + �,Pk + 1[ .
Dans tous les cas,
1fo(4 k xo + 4 k - n en) - fo(4 k xo) 1 = 1.
4 k - n en
La suite (ôn)n ne peut converger car on a l ôn +l - ôn l = 1. La fonction de Van
der Waerden n'est donc dérivable en aucun réel x0.
3.4 Exercices de synthèse
Exercice 3.8
L'objectif de cet exercice est de déterminer une approximation de J 0
1 t at b dt
pour a et b deux réels strictement positifs, type d'intégrale que MAPLE ne
parvient pas à déterminer explicitement.