Séries de fonctions
143
L'application fa est clairement continue sur [O, 1] et donc sur IR compte tenu
de la périodicité. Il s'ensuit que pour tout n E N, l'application f n est continue
sur R Il est facile d'établir que la série L n f n converge normalement sur IR :
on a
sup l fn (x) I = sup lfn (x) I = 4 - n sup l fa (4 n x) I :( r n ,
xER
xE(a,l]
xE[a,l]
car fa est majorée par 1. La série L n� l 4�, est une série géométrique de raison t; il s'agit donc d'une série convergente. La convergence normale de la
série L n f n est alors une conséquence de la proposition 3.8. On en déduit que
la fonction de Van der Waerden m: X 1---t L
�
:O fn (x) est continue sur IR.
Montrons que la fonction de Van der Waerden W n'est dérivable en aucun point
de IR. Elle sera dérivable en xa E IR si le taux d'accroissement
Ll x o Ui) =
W (xa + h � -
W (xo)
admet une limite . lorsque h tend vers O. Pour montrer que W n'est pas dérivable
en xa, il suffit ( iG ) de trouver une suite ( h n)n qui converge vers 0 mais telle que
la suite de terme général On = Ll x0 ( h n) diverge. Considérons une suite ( h n )n
de terme général h n = 4 - n en où en vaut ou bien 1 ou bien -1 (on précisera la
valeur ultérieurement). Cette suite converge vers 0 et
Remarquons que si k � n a.lors 4 k - n en est un entier relatif et par conséquent
puisque fo est !-périodique, fo (4 k xo + 4 k - n en) = fa (4 k xa). On en déduit que
Pour tout k E {O, ... , n - 1 } , notons Y k = 4 k xo et P k = E(y k ) sa partie entière.
De deux choses l'une :
- si Yn - 1 E [pn - 1 ,Pn - 1 + ! [, l'un des deux réels Yn - 1 - i ou Yn - 1 + t appartient
lui aussi à [pn - i , Pn - 1 + ! [ ;
- si Yn - 1 E [pn - 1 + ! ,Pn - 1 + 1[, l'un des deux réels Yn- 1 - t ou Yn- 1 + t
appartient lui aussi à [pn- 1 + ! , Pn - 1 + 1 [.
On choisit la va. leur de ên de sorte que Yn - 1 et Yn - 1 + ien appartiennent
au même intervalle [pn - 1 ,Pn - 1 + ! [ ou [pn-1 + ! ,Pn - 1 + 1[. Ceci implique
que pour tout k E {O, . .. , n - 2}, Y k et Y k + 4 k - n en appartiennent eux aussi
( I G ) Voir la proposition 3.11 p. 575 du Cours de première an née et la remarque 2 de la p. 576.
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L'application fa est clairement continue sur [O, 1] et donc sur IR compte tenu
de la périodicité. Il s'ensuit que pour tout n E N, l'application f n est continue
sur R Il est facile d'établir que la série L n f n converge normalement sur IR :
on a
sup l fn (x) I = sup lfn (x) I = 4 - n sup l fa (4 n x) I :( r n ,
xER
xE(a,l]
xE[a,l]
car fa est majorée par 1. La série L n� l 4�, est une série géométrique de raison t; il s'agit donc d'une série convergente. La convergence normale de la
série L n f n est alors une conséquence de la proposition 3.8. On en déduit que
la fonction de Van der Waerden m: X 1---t L
�
:O fn (x) est continue sur IR.
Montrons que la fonction de Van der Waerden W n'est dérivable en aucun point
de IR. Elle sera dérivable en xa E IR si le taux d'accroissement
Ll x o Ui) =
W (xa + h � -
W (xo)
admet une limite . lorsque h tend vers O. Pour montrer que W n'est pas dérivable
en xa, il suffit ( iG ) de trouver une suite ( h n)n qui converge vers 0 mais telle que
la suite de terme général On = Ll x0 ( h n) diverge. Considérons une suite ( h n )n
de terme général h n = 4 - n en où en vaut ou bien 1 ou bien -1 (on précisera la
valeur ultérieurement). Cette suite converge vers 0 et
Remarquons que si k � n a.lors 4 k - n en est un entier relatif et par conséquent
puisque fo est !-périodique, fo (4 k xo + 4 k - n en) = fa (4 k xa). On en déduit que
Pour tout k E {O, ... , n - 1 } , notons Y k = 4 k xo et P k = E(y k ) sa partie entière.
De deux choses l'une :
- si Yn - 1 E [pn - 1 ,Pn - 1 + ! [, l'un des deux réels Yn - 1 - i ou Yn - 1 + t appartient
lui aussi à [pn - i , Pn - 1 + ! [ ;
- si Yn - 1 E [pn - 1 + ! ,Pn - 1 + 1[, l'un des deux réels Yn- 1 - t ou Yn- 1 + t
appartient lui aussi à [pn- 1 + ! , Pn - 1 + 1 [.
On choisit la va. leur de ên de sorte que Yn - 1 et Yn - 1 + ien appartiennent
au même intervalle [pn - 1 ,Pn - 1 + ! [ ou [pn-1 + ! ,Pn - 1 + 1[. Ceci implique
que pour tout k E {O, . .. , n - 2}, Y k et Y k + 4 k - n en appartiennent eux aussi
( I G ) Voir la proposition 3.11 p. 575 du Cours de première an née et la remarque 2 de la p. 576.