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Propriétés de la somme d'une série de fonctions
Exercice 3. 7
On considère la série de fonctions L n f n de terme général
fn : X t-+ n \ e - n x .
1 - Étudier la convergence de cette série et déterminer l'ensemble de définition V de la somme if> de cette série.
2 - Montrer que 4> est une application continue sur V.
3 - a) Montrer que pour tout réel a> 0, la série de fonctions L n � l
� e - n x
converge uniformément sur ]a, +oo[. Que peut-on dire en ce qui concerne la
convergence uniforme sur ]O, +oo[ de cette série ?
b) Montrer que if> est une application dérivable sur ]O, +oo[.
Une curiosité : la fonction de Van der Waerden
Les séries de fonctions fournissent un moyen d'introduire des fonctions qui ont
des propriétés sortant de l'ordinaire des fonctions usuelles. Par exemple, la
fonction de Van der Waerden est une fonction qui est continue sur � mais qui
n'est dérivable nulle part.
La fonction de Van der Waerden est définie comme la somme de la série de
fonctions L n f n où les fonctions fn sont les fonctions périodiques de période 1
définies par récurrence sur [O, 1[ par :
fo (x) =x si xE[O, �] et fo(x) =l- x si xE]�,1[
et pour tout n E N :
fn (x) = 4 - n fo (4 n x) Vx E [O, l[.
On peut obtenir la représentation graphique des fonctions f n avec MAPLE de
la manière suivante.
> f01:= x->piecewise(x>O and x< 1/2,x,x>1/2 and x<1 , 1-x):
> f[O] := x->piecewise(x>O , f01(frac(x)) ,x > N:=3: for n from 1 to N do
f[n] := x->4-(-n)*f[0](4-n*x):
end :
> plot([seq(f[n](x) ,n=O .. N)] ,x=O .. 1);
0.4
0.3
0.2
0.1