Séries de fonctions
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de ] 1, +oo[ fixé et a = 1 + � (1 - xo) ; on a a> 1 et xo E [a, +oo[. Comme a> 1,
la série de fonctions de terme général f n : x 1-+ l/n x converge normalement sur
[a, +oo[ et par conséquent uniformément. Les applications f n : x 1-+ l/n x étant
continues sur IR, elles le sont en xo et le théorème 3.7 permet de conclure que
la fonction ( est continue en x0.
On a lim fi (x) = 1 et pour n � 2 on a lim fn (x) = lim e - x l n( n ) = O.
x-+oo
x-+oo
x- +oo
On déduit donc du corollaire 3.2 que
lim ((x) = 1.
x- +oo
Pour tout n E N*, l'application fn est dérivable sur ]1, +oo[ et a pour dérivée l'application f� : x E]l, +00(1-+ - ln(n)/n x . Pour tout x E]l, +oo( fixé, la
série numérique L n ;;, l f� (x) est une série de Bertrand ( i s> qui converge ; la série d'applications L n ;;, l f� convergente donc simplement sur ]1, +oo[. De plus,
pour tout (a, b) E]l, +oo( 2 avec a< b on a
ln(n)
sup IJ�(x)I = - ax E[a,bJ
n
et L n;;.1 ln(n)/n a est une série de Bertrand convergente. La série d'applications
L n f� converge donc normalement (et par conséquent uniformément) sur tout
intervalle fermé borné inclus dans I . Le théorème 3.10 permet d'affirmer que
la fonction (de Riemann est dérivable sur ]1, +oo( et que
\:/x E]l, +oo( ('(x) = - �
ln(n) < O.
L.., , nX
n=l
La fonction ( est donc strictement décroissante sur ] 1, +oo(.
On peut visualiser la représentation graphique de la fonction ( de Riemann à
l'aide de MAPLE.
> desl : =plot( [Zeta(x) ,1] ,x=O .. 6,y=O .. 6) :
> des2 : =plot( [1 ,t,t=0 .. 6]) :
> display(des1 ,des2);
6
-------,------------------------- -i
01+,,� ��,. ..,. .,.� �� �,. ..,. .,. ..,.-,- -�
0
( i s) Voir la définition 1.5 p. 26.