la série L n"' l fn a pour limite 0 en +oo. Comme lim x
.... . +oo - ln(l-e -x ) +C = 0,
on en déduit que C = O. La série L n;;;, i fn a donc pour somme x 1-+ - ln( l-e- x )
sur [a, +oo[.
Comme la série L n;;;. t fn converge simplement sur IR+, intéressons-nous à présent à la somme de la série L n;;;, 1 f n sur IR+. Considérons un réel x strictement
positif ; si on pose a = x/2 alors a> 0 et x E [a, +oo[. On a donc d'après ce
qui précède L n fn (x) = - ln(l - e-"' ) . On en conclut que sur IR+ la somme de
la série L n;;;, i f n est l'application

On peut affaiblir la seconde hypothèse du théorème 3.9. Il suffit que la série
(f�)n converge simplement sur I et converge uniformément sur tout intervalle
fermé borné inclus dans J. On peut également affaiblir l'hypothèse de régularité C 1 des applications f n· Si les applications f n sont uniquement dérivables
sur I, alors on peut montrer que la série L n f n converge simplement sur I
vers l'application

1. pour tout n EN l'application fn est dérivable sur I ;
2. la série d'applications L n f� converge simplement sur I et a pour somme
une application 'l/J de I dans IR ;
3. la série d'applications L n f� converge uniformément sur tout intervalle
fe rmé borné inclus dans I ;
4. il existe un réel xo E I tel que la série numérique de terme général f n(x0)
converge ;
alors la série L n f n converge simplement sur I et a pour somme l'application
est 'l/J.
La fonction ( de Riemann
Nous avons vu que la série de fonctions de terme général f n : x 1-+ 1/n"'
converge simplement et absolument sur j l, +oo[ mais qu'elle ne converge pas
uniformément sur j l, +oo[. Nous allons toutefois montrer que la fonction ( de
Riemann qui est la somme de cette série est continue sur j l, +oo[. Soit xo un réel