Séries de fonctions
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THÉORÈME 3.9 Soient I un intervalle ouvert de lR et L n fn une série d'applications de I dans JR. Si
1. pour tout n EN, l'application fn est de classe c i sur I ;
2. la série d'applications L n J;, converge uniformément sur I et a pour somme
une application 'ljJ de I dans lR ;
3. il existe un réel xo E I tel que la série numérique de terme général fn (xo)
converge ;
alors la série L n fn converge simplement sur I et a pour somme l'application
: x E I � L!:O fn (x) qui est de classe c i sur I et qui admet pour dérivée
l'application 'lj;.
Démonstration Considérons la suite d'applications (n)n de terme général
n : x E I � L� =O J k (x) et la suite d'applications ('l/Jn)n de terme général
'l/Jn : x E I � L� =O f{ (x). La dérivée d'une somme finie d'applications étant la
somme des dérivées de ces applications, pour tout n EN, on a
La série d'applications L n f� converge uniformément sur I si et seulement si la
suite d'applications (Wn)n converge uniformément sur I. De plus, pour xo E J,
la série numérique de terme général f n(x 0 ) converge si et seulement si la suite
numérique de terme général n(x 0 ) converge. D'après le théorème 2.5 p. 92,
la suite (n)n converge vers une application de classe c i sur I qui d'après la
définition 3.4 est la somme de la série L n f n· Le théorème est démontré. D
Exemple La série L n � i fn de terme général fn : x E JR+ � �e- n x converge
simplement sur JR+ . Nous allons voir comment le théorème 3.9 peut être utilisé
pour déterminer sa somme.
Pour tout n E N* , l'application fn est de classe c i sur JR+ car la fonction
exponentielle est de classe c i sur lR et on a f� : X E JR+ � -e- n x . Comme
sup x EIR * lf� (x)I = 1, la suite (J�)n ne converge pas uniformément vers la fonc+
tion nulle ; d'après la proposition 3. 7 cela implique que la série L n � i f� ne
converge pas uniformément sur JR+. Toutefois, pour tout a E JR+, la série
L n � i f� converge normalement sur [a, +oo[, et par conséquent uniformément,
car sup x E(a,+oo( lf�(x) I = e - n a et le critère de D'Alembert permet d'établir que
la série L n e - n a converge.
Les conditions du théorème 3.9 sont donc satisfaites sur I = [a, +oo[ où a > O.
On en déduit que la série L n �i fn converge sur [a, +oo[ vers une application
qui est de classe c i sur [a, +oo[ et dont la dérivée en X E [a, +oo[ vaut
+oo
+oo
- x
1
'(x) = L f � (x) = - L e - n x = - 1 � e- x = 1-e x
n=O
n= i