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Propriétés de la somme d'une série de fonctions
Riemann-intégrable sur [O, 1] et on déduit du théorème 3.8 que
+oo r l (- 1r x 2 n
-
+oo
(- 1r r l 2 n
L Jo 2 n n! dx
-
L 2 n n! J o x dx
n=O O
n=O
0
+oo
= 2: (-1r n=O
Une valeur approchée de l'intégrale I est IN = E;'; = 0(- 1r Cl!n où N est un
entier que l'on choisira d'autant plus grand que l'on souhaite une valeur approchée précise. Puisque la suite ( O!n)n est suite de réels positifs, décroissante et
convergeant vers 0, il résulte de la proposition 1.15 p. 44 que le reste d'ordre N
de la série alternée E n (-lro:n, qui donne l'erreur d'approximation I - IN,
est tel que IRNI :::; O:N + i·
On peut tester cette méthode de calcul d'une valeur approchée de f0 1 e - x 2 / 2 dx
avec une erreur inférieure à 10-16 à l'aide de MAPLE.
> alpha := n-> 1/(2-n*(2*n+1)*n !):
> N:=ceil(fsolve(alpha(n+1)=1E-16 ,n,1 .. infinity)) ;
N := 13
> u:=n-> (-1)-n*alpha(n) :
> evalf(sum(u(n) , n=O .. N) ,16);
.8 556243918 92148 8
On peut comparer cette valeur à la valeur approchée de l'intégrale obtenue par
,
,
•
( 1 4 )
MAPLE par une methode de quadrature numenque .
> evalf(Int(exp(-x-2/2) ,x=O .. 1, 'method ' = _d01aj c), 16);
.8 556243918 921489
On peut remarquer la concordance entre ces deux valeurs approchées de
f0 1 e- x 2 1 2 dx. On se convaincra, en utilisant par exemple la commande time
de MAPLE, que le tenips de calcul en utilisant une méthode de quadrature
numérique est toutefois moins important.
Intéressons-nous maintenant aux propriétés de dérivabilité de la somme d'une
série de fonctions.
< 14 > Voir la section 18.6 p. 883 et suivantes du Cours de première an née pour une présentation
de ce type de méthode.