Séries de fonctions
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Soient a E !Rf. et x E lR avec x > a; pour tout n E N, l'application fn est
continue donc Riemann-intégrable sur [a, x] et la série L n f n converge uniformément sur [a, x]. On déduit du théorème 3.8 que la somme de la série L n fn
vérifie
lx
+oo lx
+oo lx
+oo
(t) dt = I: fn (t) dt = L ne - n t dt= L (e - n x - e - n a ) .
a
n=O a
n=O a
n=O
Comme la somme de la série géométrique L n e- n x vaut 1 _ !-x , on obtient :
t dt -
-
lx
1
1
a
( ) - 1 - e- x 1 - e- a ·
Cette expression donne l'intégrale indéfinieciaJ associée à . On obtient par
dérivation
(e X -1)2 "
Ainsi, la série d'applications L n f n de terme général f n : x E !Rf. f-+ ne - n x
converge simplement sur !Rf. et a pour somme : x E !Rf. f-+ ( e"� l l2 .
Application : calcul approché d'une intégrale
Le théorème 3.8 fournit un procédé pour calculer une valeur approchée de
certaines intégrales. Considérons par exemple la série d'applications de terme
général fn : x E [O, 1] f-+ < - ;C� 2n . Elle converge normalement et par conséquent uniformément sur [ü, 1] puisque sup x E ( O,l] lfn (x)I = 2 } n! et que le critère
de D'Alembert indique que la série numérique L n 2 n 1 n! converge. Pour tout
x E [O, 1], on a
+oo
( l) n 2 n +oo l ( 2 ) n
� - X
�
X
- x 2 / 2
�
2 n n! =
� n! -2 = e
n=O
n=O
car eu = L!:O ';:.� pour tout réel u, voir p. 5. La somme de la série L n fn est
donc l'application : x E [O, 1] f-+ e- x 2 / 2 .
Cette application est omniprésente en calcul des probabilités ; il s'agit (à la
constante V2if près) de la fonction de densité de la loi normale centrée réduite
(ou loi gaussienne) . La primitive de l'application n'étant pas exprimable à
l'aide des fonctions usuelles, nous allons voir comment obtenir, à l'aide du
théorème 3.8, une valeur approchée de l'intégrale I = f0
1 e - x 2 / 2 dx.
Puisque pour tout n E N, l'application fn est continue sur [O, 1], elle est
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Voir le Cours de première année p. 847.