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Propriétés de la somme d'une série de fonctions
Remarques
1. Le corollaire 3.2 donne une condition suffisante pour pouvoir permuter une
limite et une somme infinie puisque l'égalité s'écrit encore :
+oo
+oo
'°' lim fn (x) = lim '°' fn (x) .
L...J x�x o
:z:-+xo �
n=O
·
n=O
2. Le résultat reste valable dans le cas où xo est remplacé par +oo où -oo, voir
la proposition 2. 7 p. 89.
o
Exemple Considérons la sene d'applications L n fn de terme général
fn : x E [1, +oo[.-+ � e- n x
.
Cette série converge normalement sur [1, +oo[
car sup xE[l,+oo[ lfn (x) I = n!n et le critère de D'Alembert indique que la série
numérique L n � I n!n est une série numérique convergente.
Pour n E N*, notons Un = lim x -> +oo f n ( x) ; la série L n Un est la série nulle.
On déduit du corollaire 3.2 et de la remarque précédente que la somme

série L n fn a pour limite 0 en +oo.
THÉORÈME 3.8 Soit L n fn une série d'applications de [a, b] dans lR. qui sont
Riemann-intégrables sur [a, b] . Si la série L n fn converge uniformément sur
[a, b] alors la somme b
+oo b
1 a
n=O a
Démonstration La série d'applications L n fn converge uniformément sur
[a, bj si et seulement si la suite d'applications ( k E N, l'application f k est Riemann-intégrable sur [a, b) alors pour tout n E N
l'application ( d'après la définition 3.4, cette application

théorème est démontré.
0
Exemple Nous avons établi pp. 117 et 125 que la série d'applications L n f n
de terme général f n : x E JR.+ .--+ ne- n x convergeait simplement mais pas
uniformément sur JR.+. Toutefois, elle converge normalement, et par conséquent
uniformément, sur [a, +oo[ pour tout a E JR.+.