Séries de fonctions
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THÉORÈME 3.7 Soient I un intervalle ouvert de lR et L n fn une série d'applicat ions de I dans lR qui converge uniformément sur I.
X Si pour tout n E N l'application f n est continue en xo E I alors la somme
de la série : x E I 1-+ L�:O fn (x) est une application continue en xo .
X Si pour tout n E N l'application f n est continue sur I alors la somme de
la série est une application continue sur I.
Démonstration La série d'applications L n fn converge uniformément sur I si
et seulement si la suite d'applications (ef>n)n dont le terme général est
ef>n : x E I 1-+ L� =O fk(x) converge uniformément sur I. Si pour tout k E N,
l'application f k est continue en x0 (resp. sur I) alors pour tout n E N l'application
0
Remarques
1. Le théorème 3. 7 s'étend sans difficulté au cas de la continuité à gauche ou à
droite cu> permettant ainsi de considérer un réel xo adhérent à I.
2. La condition de convergence uniforme de la série d'applications L n f n est
une condition suffisante pour que l'application somme soit continue mais elle
n'est pas une condition nécessaire. Par exemple la série d'applications L n f n
de terme général f n : x E lR 1-+ x n /n ! est une série d'applications continues
sur lR qui converge simplement sur lR vers l'application exponentielle qui est
elle aussi une application continue sur lR mais il n'y a pas convergence uniforme
de la série d'applications sur lR comme nous l'avons vu p. 120.
o
Exercice 3.6
1 - Montrer que la série L n f n de terme général f n : X E lR 1-+ (H�2) n
converge simplement sur lR et déterminer sa somme.
2 - En utilisant le théorème 3.7, établir que c12> la série L n fn ne converge
pas uniformément sur R
COROLLAIRE 3.2 Soient I un intervalle ouvert, L n fn une série d'applications de I dans lR qui converge uniformément sur I et xo un point adhérent
à I. Si pour tout n E N l'application f n admet pour limite en xo le réel Un,
alors la série numérique L n Un converge et sa somme vérifie
+oo
+oo
L Un = lim L fn (x).
x--+xo
n =O
n= O
( ll) Voir la définition 13.5 p. 590 du Cours de première année.
<1 2> Cette propriété a aussi été établie dans l'exercice 3.2 ; on comparera les deux méthodes.
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THÉORÈME 3.7 Soient I un intervalle ouvert de lR et L n fn une série d'applicat ions de I dans lR qui converge uniformément sur I.
X Si pour tout n E N l'application f n est continue en xo E I alors la somme
de la série : x E I 1-+ L�:O fn (x) est une application continue en xo .
X Si pour tout n E N l'application f n est continue sur I alors la somme de
la série est une application continue sur I.
Démonstration La série d'applications L n fn converge uniformément sur I si
et seulement si la suite d'applications (ef>n)n dont le terme général est
ef>n : x E I 1-+ L� =O fk(x) converge uniformément sur I. Si pour tout k E N,
l'application f k est continue en x0 (resp. sur I) alors pour tout n E N l'application
0
Remarques
1. Le théorème 3. 7 s'étend sans difficulté au cas de la continuité à gauche ou à
droite cu> permettant ainsi de considérer un réel xo adhérent à I.
2. La condition de convergence uniforme de la série d'applications L n f n est
une condition suffisante pour que l'application somme soit continue mais elle
n'est pas une condition nécessaire. Par exemple la série d'applications L n f n
de terme général f n : x E lR 1-+ x n /n ! est une série d'applications continues
sur lR qui converge simplement sur lR vers l'application exponentielle qui est
elle aussi une application continue sur lR mais il n'y a pas convergence uniforme
de la série d'applications sur lR comme nous l'avons vu p. 120.
o
Exercice 3.6
1 - Montrer que la série L n f n de terme général f n : X E lR 1-+ (H�2) n
converge simplement sur lR et déterminer sa somme.
2 - En utilisant le théorème 3.7, établir que c12> la série L n fn ne converge
pas uniformément sur R
COROLLAIRE 3.2 Soient I un intervalle ouvert, L n fn une série d'applications de I dans lR qui converge uniformément sur I et xo un point adhérent
à I. Si pour tout n E N l'application f n admet pour limite en xo le réel Un,
alors la série numérique L n Un converge et sa somme vérifie
+oo
+oo
L Un = lim L fn (x).
x--+xo
n =O
n= O
( ll) Voir la définition 13.5 p. 590 du Cours de première année.
<1 2> Cette propriété a aussi été établie dans l'exercice 3.2 ; on comparera les deux méthodes.