134
d (9)
one
et
Propriétés de la somme d'une série de fonctions
l .ç... . cos(kx) I :::; l ei { n �. l) x - l 1 :::; 1
.
2
I '
�
e' x - 1 e1 x - 1
k=O
I � sin(kx)I :::; 1 ei { n �l) x - 1 1 :::; 1
.
2
1 ·
�
e' x - 1 e' x - 1
k=O
En utilisant le f ait que lié� 1 = 1 et les relations d'Euler c• o > , on obtient :
2
l2ieit 1
1 2i 1 1
l ei x - li
= l ei x - l i
=
eit - e-i t
= 1 sin(� ) I '
On en déduit que pour tout x E [2k1r + 17, 2(k + 1)11' - 77]
' t cos(kx)I :::; . 1 (!1. )
et
k=O
Slll 2
l t sin(kx)I :::; . 1 (!1. ) '
k=O
Slll 2
La condition 3 du théorème 3.6 est donc satisfaite en prenant M = sinŒ )
- 1
.
On en conclut que pour tout 1J E]O, 7r[, les séries de fonctions E n an cos(nx) et
E n Œn sin(nx) convergent uniformément sur l'intervalle [2k7r + 'f/, 2(k + 1)71' -17]
(où k E Z).
3.3 Propriétés de la somme d'une série de fonctions
Certaines propriétés que possèdent les termes d'une série d'applications sont
conservées par l'application qui en est la somme. Dans certains cas, ces propriétés sont transmises à la somme de la série sans condition, dans d'autres cas
certaines hypothèses sur le type de convergence sont requises.
D'une manière générale, les résultats que nous énoncerons pour les séries d'applications se déduisent des résultats que nous avons établis au chap. 2 pour les
suites d'applications par le biais de l'argument suivant : la série d'applications
E n f n converge sur X et a pour somme l'application si et seulement si la
suite d'applications ( n)n de terme général n : x EX 1-+ E� =O f k (x) converge
sur X vers
Commençons par la propriété de continuité de la somme d'une série de fonctions.
( 9) Pour tout z E
d (9)
one
et
Propriétés de la somme d'une série de fonctions
l .ç... . cos(kx) I :::; l ei { n �. l) x - l 1 :::; 1
.
2
I '
�
e' x - 1 e1 x - 1
k=O
I � sin(kx)I :::; 1 ei { n �l) x - 1 1 :::; 1
.
2
1 ·
�
e' x - 1 e' x - 1
k=O
En utilisant le f ait que lié� 1 = 1 et les relations d'Euler c• o > , on obtient :
2
l2ieit 1
1 2i 1 1
l ei x - li
= l ei x - l i
=
eit - e-i t
= 1 sin(� ) I '
On en déduit que pour tout x E [2k1r + 17, 2(k + 1)11' - 77]
' t cos(kx)I :::; . 1 (!1. )
et
k=O
Slll 2
l t sin(kx)I :::; . 1 (!1. ) '
k=O
Slll 2
La condition 3 du théorème 3.6 est donc satisfaite en prenant M = sinŒ )
- 1
.
On en conclut que pour tout 1J E]O, 7r[, les séries de fonctions E n an cos(nx) et
E n Œn sin(nx) convergent uniformément sur l'intervalle [2k7r + 'f/, 2(k + 1)71' -17]
(où k E Z).
3.3 Propriétés de la somme d'une série de fonctions
Certaines propriétés que possèdent les termes d'une série d'applications sont
conservées par l'application qui en est la somme. Dans certains cas, ces propriétés sont transmises à la somme de la série sans condition, dans d'autres cas
certaines hypothèses sur le type de convergence sont requises.
D'une manière générale, les résultats que nous énoncerons pour les séries d'applications se déduisent des résultats que nous avons établis au chap. 2 pour les
suites d'applications par le biais de l'argument suivant : la série d'applications
E n f n converge sur X et a pour somme l'application si et seulement si la
suite d'applications ( n)n de terme général n : x EX 1-+ E� =O f k (x) converge
sur X vers
Commençons par la propriété de continuité de la somme d'une série de fonctions.
( 9) Pour tout z E