Séries de fonctions
3.2.3 Règle d'Abel potll" la convergence uniforme
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Nous avons établi au chapitre 1, théorème 1.4 p. 46, un résultat (la règle d'Abel)
qui assure la semi-convergence d'une certaine classe de séries numériques non
absolument convergentes. Nous allons donner une règle qui permet, de manière
très similaire, d'établir la convergence uniforme de certaines séries de fonctions
lorsque la convergence normale ne peut être établie. Ce théorème est admis.
THÉORÈME 3.6 (Règle d'Abel pour la convergence uniforme)
Soit Un )n une suite d'applications de X dans lR dont le terme général est de
la forme
fn (x) = 9n(x) X hn(x)
où (gn)n et (hn)n sont deux suites d'applications de X dans JR. Si,
1. pour tout x EX fixé, la suite numérique (gn(x))n est une suite décroissante ;
2. la suite d'applications (gn)n converge uniformément sur X vers l'application nulle ;
3. il existe un réel positif M tel que : 't/x EX 'tin EN I L � =O h k (x) I ,,;; M ;
alors la série d'applications L n fn converge uniformément sur X.
Remarques
1. Le théorème reste valable lorsque les conditions ne sont réalisées qu'à partir
d'un certain rang no, où no est un entier fixé indépendant de x.
2. Compte tenu des deux premières conditions, pour tout x E X fixé, la suite
numérique ((gn(x))n est une suite à termes positifs, décroissante et convergeant
vers O.
o
Application aux séries trigonométriques
Considérons les séries de fonctions L n Œn cos(nx) et I: n Œn sin(nx) où (an)n
est une suite de réels positifs, qui est décroissante et qui converge vers O.
Pour tout x E lR \ 2nZ et tout n E N on a
n
n
n .
i( n +l)x _ 1
'""" cos(kx) + i '""" sin(kx) = '""" e ' k x
= _ e _. __ _
L.,
L.,
L.,
e'X - 1
k =O
k =O
k =O
(B) Le théorème 3.6 reste vrai dans le cas de séries de fonctions de la variable complexe en
remplaçant cette condition par la condition suivante : pour tout x E X fixé, la suite
numérique réelle (lgn (x)l)n est une suite décroissante.