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Critères de convergence uniforme
alternées permet de conclure à la converge uniforme sur [O, 1] de la série d'applications L n) l J n ·
2. Montrons, en utilisant le théorème 3.5, que la série d'applications L n fn
de terme général fn : x E [ü, +oo[� (·�( e- n x , converge uniformément sur
[O, +oo[. On a fn = (- l) n gn où 9n : x E [ü, +oo[� ?.te- n x . Vérifions que la
suite d'applications (gn)n satisfait aux deux hypothèses du théorème.
- Pour tout x E �. le réel 9n(x) est strictement positif et
9n+i (x)
9n(x)
Si x est positif alors e- x � 1 et par conséquent la suite numérique (gn(x))n est
décroissante. On en déduit que l'intervalle [O, +oo[ est le plus grand ensemble
sur lequel on peut espérer montrer la convergence uniforme de la série en ayant
recours au critère spécial.
- Pour tout entier n ;?:: 1, on a
1
sup /gn(x)/ = � sup le - n x l .
x E(O,+oo(
V n x E(O,+oo[
Pour n E N* fixé, la fonction x � e- n x étant décroissante sur [O, +oo[, elle
atteint son maximum qui vaut 1 en O. On a donc SUP x e [ o, +oo[ /gn(x)/ = Jn · On
déduit de la proposition 2.2 p. 74 que la suite d'applications (gn)n converge
uniformément sur [ü, +oo[ vers l'application nulle.
Le critère spécial de convergence uniforme des séries alternées permet de conclure
que la série L n) l <-),( e- n x converge uniformément sur [O, +oo[.
On remarquera que cette série de fonctions ne converge pas normalement sur
[O, +oo[ car
sup /fn (x)/ = sup 1 (- �
n
e - n x l = �
x E(O,+oo(
x E(O,+oo( V n
y n
et la série de Riemann L n � l
. h diverge.
r
.y n
Exercice 3.5
On considère la série de fonctions L n fn de terme général
f . X 1--t
(- l r
n .
x 2 + n
'
1 - Montrer que la série L n f n converge simplement sur R
2 - Montrer que la série L n fn converge uniformément sur � mais qu'il
n'existe aucun intervalle de � où la convergence est normale.