Séries de fonctions
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Démonstration Pour x EX fixé, considérons la suite (Un)n des sommes partielles associée à la série alternée L n Un de terme général Un = (-1 r 9n(X ).
Nous avons montré au cours de la démonstration du théorème 1.3 p. 42 que la
suite extraite de (Un)n correspondant aux termes d'indices pairs et la suite extraite de (Un)n correspondant aux termes d'indices impairs étaient deux suites
adj acentes convergeant vers la somme de la série. Il résulte des propriétés des
suites adjacentes que pour tout p E N on a
où U = 2:�:0 un = 2:�:0(-lr gn (x). Ainsi, pour tout n EN, on a ou bien
Un +l � U � Un ou bien Un +l � U � Un , selon que n est pair ou impair. Dans
les deux cas, on a
+oo
1 L (-l) k 9k (x) I = I U - Un i � I Un +l - Un i = l9n+i (x)I = 9n+1(x),
k= n +l
ce qui implique que
+oo
sup l L (-l) k g k (x) I � sup lgn+l(x) I .
x EX k= n +l
x EX
Comme la suite d'applications (gn)n converge uniformément sur X vers l'application nulle, la suite d'applications (Pn)n de terme général
+oo
Pn: XE X f--+ L (-l) k g k (x)
k= n +l
converge uniformément sur X vers l'application nulle. D'après le corollaire 3.1,
on en conclut que la série d'applications L n (-l) n gn converge uniformément
sur X.
0
Exemples
1. Montrons, en utilisant le théorème 3.5, que la série d'applications L n � l f n
de terme général fn : x E [0, 1] r--> (-lrx n jn converge uniformément sur fQ, l].
Pour n E N* posons 9n : x E [O, 1] r--> x n /n. Cette application est positive et,
pour x E]O, 1] fixé, on a
9n+i (x) _
_
n
_ < _,,. 1
-X
X :::, , •
9n(x)
n + 1
On en déduit que pour tout x E]O, 1], la suite (gn(x))n est strictement décroissante. Comme par ailleurs la suite (gn(O))n est la suite nulle, la suite
numérique réelle (gn (x))n est une suite décroissante pour tout x E [O, 1]. De
plus, sup x E[O,l] lgn (x)I = � admet pour limite 0 quand n tend vers +oo, ce
qui indique que la suite d'applications (gn)n converge uniformément sur [O, 1]
vers l'application nulle. Le critère spécial de convergence uniforme des séries