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Critères de convergence uniforme
décroissantes) donc
n
1
n
1
sup 1 L kx 1 = sup cp (x) = cp ( l) = L k'
xE ] l,+oo[ k =m
xE)l ,+oo[
k =m
Considérons pour N E N fixé, les entiers m = 2N et n = 2N + 1 - 1. On a,
car la somme contient 2N termes tous strictement plus grands que l/ 2N + 1. La
relation (5) est démontrée.
Toutefois, la série de fonctions L n fn converge normalement sur [a, +oo[ pour
tout a > 1 puisque
1
1
1
1
sup - = -
xE[ a ,+oo[ n x
na
et la série de Riemann L n ;;:, 1
1/na converge pour tout a > 1. La représentation
graphique de la fonction ( de Riemann est donnée p. 141.
1 On peut remarquer avec cet exemple que la convergence normale d'une série
de fonction L n fn sur tous les intervalles de la forme [a, +oo[ avec a > 1
n'implique pas la convergence normale de la série sur ]1, +oo[.
3.2.2 Convergence uniforme des séries alternées
Le théorème suivant donne des conditions suffisantes pour pouvoir affirmer
qu'une série d'applications qui est alternée, c'est-à-dire une série d'applications
L n f n de terme général f n de la forme (-l) n gn avec 9n une application positive,
converge uniformément. Ce résultat est connu sous le nom de critère spécial de
convergence un if orme des séries alternées.
THÉORÈME 3.5 (Convergence uniforme des séries alternées)
Soit Un )n une suite d'applications d'un sous-ensemble X de lR dans lR dont
le terme général est de la fo rme
où (gn )n est une suite d'applications de X dans R Si,
1. pour tout x E X fixé, la suite numérique (gn (x))n est une suite à termes
positifs, décroissante ;
2. la suite d'applications (gn)n converge uniformément sur X vers l'application nulle ;
alors la série d'applications L n f n converge uniformément sur X.