Suites de fonctions
105
On a donc f� < 0 sur ]O, fa[. Le tableau de variation de fn est le suivant :
X
0
vin
+oo
f� (x) 0 -
O'. n
0
1
. fn (x)
� 0
-
0
Pour n � 2 on a an = O. Pour n = 1, la fonction fi n'est pas dérivable en
fa= 1 : elle admet pour dérivée à gauche -2 et pour dérivée à droite O.
Utilisons MAPLE pour tracer la représentation graphique de ces fonctions :
> f_n:=(n,x)-> piecewise(x>O and x > plot([seq(f_n(n,x),n=1 .. 4)] ,x=O .. 2);
0,4
0,8
1,2
1,6
2
b) Montrer que la suite Cfn )n converge simplement vers l'application
f : x E [O, +oo[I--) e - x 2 revient à montrer que quel que soit le réel x fixé · la
suite numérique de terme général Un = fn (x) admet pour limite e - x 2 • Soit x
un réel positif fixé ; pour n assez grand (n � E(x 2 ) + 1) on a x � fa et par
conséquent
2
2
2
2
Pour x > 0 on a ln(l - � ) "" - � et par conséquent lim n ln(l-�) = -x .
n + oo n
n-+ + oo
n
2
On a donc par continuité de la fonction exponentielle : lim fn (x) = e - x . Si
n-+ + oo
x = 0 alors Un = f n(O) = 1; la suite constante égale à 1 converge bien vers
e 0
= l. On en conclut que la suite Cf n)n converge simplement vers l'application
f : X E [O, +oo[I--) e - x 2 •