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Solutions des exercices
La suite d'applications (Fn )n E N• converge donc simplement sur IR vers l'application F : x E IR 1--+ �x3•
·
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.8
1 - Si x = 0 alors pour tout n E Non a f n (x) = 0 et la suite Un )n converge
en 0 vers l'application nulle. Par ailleurs, pour x E [-1,0{U]0, 1] fixé on a
(1 + n2x2) rv n2x2 et par conséquent f n (x) rv 1/(n2x).
n- + =
n- + =
Comme limn- + = l/(n2x) = 0, on en déduit que la suite Un )n converge simplement sur [-1, 1] vers l'application nulle.
Montrons que la suite Un)n converge uniformément sur [-1, 1] vers l'application nulle. Il s'agit pour cela de montrer que Un == sup x E[ - l,l J l f n (x) I tend
vers 0 quand n tend vers +oo. Comme pour tout n E N fixé, l'application f n
est paire on peut remarquer que Un = sup x E(O,l J l f n (x) I .
Pour déterminer l'expression de un, étudions l'application f n sur [O, l]. Pour
tout n EN fixé, l'application f n est de classe c = sur [-1, 1] et
Vx E [-1, 1]
On a le tableau de variation suivant :
X
0
.!.
1
7'
f� (x)
+
0
-
..L
/
2 n �
f n (x)
0
1
l+n2
On déduit de ce tableau de variation que Un = sup x E(O,i) l f n (x) I = 2
� . Comme Un
tend vers 0 quand n tend vers +oo, on en conclut que la suite Un )n converge
uniformément sur [-1, 1] vers l'application nulle.
2 - Pour tout n E N on a f� (O) = 1 donc limn- + = f� (O) = 1. Par ailleurs,
pour tout x E [-1, O[U]O, 1] fixé on a f� (x) rv -� ce qui implique que
n ---t + ex:> n x
limn- + = f� (x) =O. On en déduit que la suite (f�) n converge simplement sur
[-1, 1] vers l'application g qui vaut 1 en 0 et 0 sur [-1, O[U]O, l].
Pour tout n E N, l'application f� est continue sur [-1, 1] alors que l'application g ne l'est pas. On en déduit du théorème 2.3 que la suite (f�) n ne converge
pas uniformément vers g sur [-1, 1].
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.9
1 - a) Pour n E N* fixé, l'application f n est dérivable sur ]O, y'n[ et
Vx E]O, y'n[
(
2
)n - l
f' (X) = -2x 1 - :