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Solutions des exercices
c) Pour calculer sup x E[O, a ] exp ( x 2 + n ln(l - �) ) , étudions les variations
de la fonction g : x 1--+ x 2 + n ln(l - �) sur [ü, a]. Remarquons que pour n
strictement supérieur à E(a 2 ) et x E [O, a] on a 0 � � < 1; le réel g(x)
est donc bien défini. Comme la fonction logarithme est de classe C 00 sur son
ensemble de définition, l'application g est de classe C 00 sur [ü, a]. Pour tout
X Ejü, a[,
2x 3
g'(x) = --- n - x2
et cette quantité est négative car n - x 2 > 0 pour x E]O, a[ avec n > E(a 2 ). On
en déduit que g est décroissante sur [O, aJ . Comme la f onction exponentielle est
croissante, pour tout (x, y) E [O, a] 2 on a
x � y =::: :} g(y) � g(x) =::: :} eg ( y ) � eg ( x ) =::: :} 1 - e 9( x ) � 1 - eg ( y ) .
ce qui signifie que l'application
0 =
et par conséquent
sup (1 - exp(x 2 +nln(l - �))) =
d) Intéressons-nous aux termes de la suite Un)n à partir du rang
N = E(a 2 ) + 1. Pour tout entier n ;;:: Non a a � ,,fii et
\::l x E [0, a] fn (x) = (1 - � 2 r .
La suite Un)n converge uniformément sur [O, a] vers l'application f si et seulement si la suite numérique de terme général Un = sup x E[O, a] lfn (x) - f(x)I
converge vers O. Pour n ;;:: N on a
Un = sup l (1 - � f - e - x 2 1 = sup lexp(nln(l - � )) - e - x 2 1
xE[ O, a ]
x E[O, a ]
sup e - x 2 lexp(x 2 +nln(l - � )) - 1 I � l - e - a 2 (1 - � f
x E[O, a ]
car e- x 2 � 1 pour tout x E [O, a]. Comme la suite de terme général
Vn = (1 - a 2 /nr converge vers e - a 2 , par le théorème d'encadrement on peut
en conclure que la suite (un)n converge vers O. La suite Un)n converge donc
uniformément sur [O, a] vers l'application f.
e) Soit é E JR+ ; pour tout a E JR+, la suite (un)n de terme général
Un = sup x E[O, a ] lfn (x) - f(x)I convergeant vers 0, il existe c 3 s ) un entier naturel N tel que pour tout entier n ? N on ait l un l � E:. Pour tout n ;;:: N et
pour tout x E [O, a] on a donc lf(x) - fn (x)I � é.
<3 5 > Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.
Solutions des exercices
c) Pour calculer sup x E[O, a ] exp ( x 2 + n ln(l - �) ) , étudions les variations
de la fonction g : x 1--+ x 2 + n ln(l - �) sur [ü, a]. Remarquons que pour n
strictement supérieur à E(a 2 ) et x E [O, a] on a 0 � � < 1; le réel g(x)
est donc bien défini. Comme la fonction logarithme est de classe C 00 sur son
ensemble de définition, l'application g est de classe C 00 sur [ü, a]. Pour tout
X Ejü, a[,
2x 3
g'(x) = --- n - x2
et cette quantité est négative car n - x 2 > 0 pour x E]O, a[ avec n > E(a 2 ). On
en déduit que g est décroissante sur [O, aJ . Comme la f onction exponentielle est
croissante, pour tout (x, y) E [O, a] 2 on a
x � y =::: :} g(y) � g(x) =::: :} eg ( y ) � eg ( x ) =::: :} 1 - e 9( x ) � 1 - eg ( y ) .
ce qui signifie que l'application
0 =
et par conséquent
sup (1 - exp(x 2 +nln(l - �))) =
d) Intéressons-nous aux termes de la suite Un)n à partir du rang
N = E(a 2 ) + 1. Pour tout entier n ;;:: Non a a � ,,fii et
\::l x E [0, a] fn (x) = (1 - � 2 r .
La suite Un)n converge uniformément sur [O, a] vers l'application f si et seulement si la suite numérique de terme général Un = sup x E[O, a] lfn (x) - f(x)I
converge vers O. Pour n ;;:: N on a
Un = sup l (1 - � f - e - x 2 1 = sup lexp(nln(l - � )) - e - x 2 1
xE[ O, a ]
x E[O, a ]
sup e - x 2 lexp(x 2 +nln(l - � )) - 1 I � l - e - a 2 (1 - � f
x E[O, a ]
car e- x 2 � 1 pour tout x E [O, a]. Comme la suite de terme général
Vn = (1 - a 2 /nr converge vers e - a 2 , par le théorème d'encadrement on peut
en conclure que la suite (un)n converge vers O. La suite Un)n converge donc
uniformément sur [O, a] vers l'application f.
e) Soit é E JR+ ; pour tout a E JR+, la suite (un)n de terme général
Un = sup x E[O, a ] lfn (x) - f(x)I convergeant vers 0, il existe c 3 s ) un entier naturel N tel que pour tout entier n ? N on ait l un l � E:. Pour tout n ;;:: N et
pour tout x E [O, a] on a donc lf(x) - fn (x)I � é.
<3 5 > Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.