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Or,
Solutions des exercices
et lim 1 - - = lim 1 - -
( 1 )
2 n
( l )P
n- + =
2n
p-+oo
p
1
e
On en déduit que 9n(Xn) ,... .., 1/,,/2e7î ce qui implique que limn- + oo 9n(Xn) =O.
+ oo
On �n cqnclut que la suite Un)n converge uniformément sur � vers l'application
.. :nt;rll�' , . . .. . ; : .
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:_ \· sc>1,üTIQN DE L'ExERcicE 2.3
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._, :f1..; ·:p�a;� rè· s la proposition 2.2, une condition nécessaire et suffisante pour que
la suite Un)n converge uniformément vers la fonction nulle est que la suite
de terme général Un = sup x EX lfn (x)I converge vers O. Or, par définition de
la borne supérieure, sup x EX lfn (x)I ? lfn (xn)I pour tout n E N. Il est donc
nécessaire que la suite de terme général If n(xn)I converge vers 0 pour que la
suite (un)n converge vers O. Comme la suite de terme général lfn (xn)I converge
vers 0 si et seulement si la suite de terme général f n(xn) converge vers 0, on
en déduit qu'une condition suffisante pour que la suite Un)n ne converge pas
uniformément sur X vers la fonction nulle, est qu'il existe une suite (xn)n
d'éléments de X telle que la suite de terme général fn (xn) ne tende pas vers O.
2 - a) Si x E [O, �[U]�,n] alors 0 � sin(x) < 1. Comme pour tout a E [O, 1[
on a limn- + oo ,.fii, a n , on en déduit que limn- + oo fn (x) =O. Si X = � alors
fn (x) = 0 pour tout n E Net on a aussi limn-+ + oo fn (x) = O. On en conclut
que pour tout x E [O, n) la suite numérique de terme général fn (x) converge
vers 0, autrement dit que la suite d'applications Un)n converge simplement
vers l'application nulle.
b) Déterminons l'expression de fn (xn) pour tout n E N*. On a
sin(arcsin(l - l/n)) = 1 - l/n et comme Xn E [O, �[, le réel cos(xn) est positif
et s'exprime sous la forme cos(xn) = J1 - sin 2 (xn) = 1/ ,.fiï,. On a donc
fn (Xn) = Vn X Jn X
(
1 - � ) = 1 - �
et cette quantité tend vers 1 quand n tend vers O. On conclut, en utilisant la
question 1, que la suite Un)n ne converge pas uniformément sur [O, n) vers la
fonction nulle.
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.4
1 - L'application fn est bornée puisque pour tout x E �on a lfn (x)I � n.
Soit x un réel fixé. Pour tout n E N avec n > E(x) on a fn (x) = lxl . La suite
Un)n converge donc simplement vers la fonction valeur absolue qui n'est pas
une fonction bornée sur �On peut illustrer le comportement de la suite Un)n avec MAPLE.