Suites de fonctions
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> fn := (n,x)-> min(abs(x),n):
> plot([seq(fn(n,x),n=1 .. 9)] ,x=-10 .. 10,linestyle=[dash,solid] );
2
4
6
8 10
Pour tous n E N et x E � ' on a
l fn (x) - f(x) I = l x l - min( l x l , n) = { f x l
_ n
si x E [-n, n]
sinon
On en déduit que sup x EIR l f n (x) - f (x) I = SllP xE ]n , +oo[(lxl - n) = +oo . Il n'y a
donc pas convergence uniforme de la suite Un )n vers la fonction valeur absolue.
On dispose avec cet exemple d'une suite d'applications bornées qui converge
simplement vers une application non bornée. La convergence n'est pas uniforme.
2 - L'application f n n'est pas bornée puisque < 2 9l pour tout !YI E � + le réel
x = M vérifie l f(x) I > M.
Pour x E � fixé, la suite numérique réelle de terme général f n (x) = x + �
converge vers x. On en déduit que la suite Un )n converge simplement sur �
vers l'application identité qui n'est pas bornée sur R Cette convergence est
également uniforme puisque sup x EIR l fn (x) - f(x) I =�converge vers O.
On a avec cet exemple, une suite d'applications non bornées qui converge uniformément. La limite est une application non bornée.
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.5
1 - La quantité fn (x) est définie pour x E �tel que 1 + n (t':i- x ) > 0, c'est-à-dire
pour x tel que
X
-- >-n.
l+x
(19)
- Si 1 + x < 0, i.e. si x E] - oo , -1 [, alors (19) équivaut à x < -n(l + x ) ,
autrement dit à x < - n� l ·
< 2 9 > On rappelle qu'une application f de X dans IR est bornée sur l'ensemble X si :
3M E IR+ Vx E X lf(x)I � M . En prenant la négation de cette assertion quantifiée,
on obtient qu'une application f de X dans IR n'est pas bornée sur l'ensemble X si :
VM E IR + 3x EX lf(x)I > M.