Suites de fonctions
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2.6 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.1
Considérons l'application f : x E]O, 2[i--+ sh(x 2 - x - 1). Comme la fonction
sinus hyperbolique est de classe C00 sur JR, f est de classe C00 sur JO, 2[ en tant
que composée de la fonction sinus hyperbolique avec une fonction polynomiale.
Pour tout x E JR, on a f'(x) = (2x - 1) ch(x 2 - x - 1). La fonction cosinus
hyperbolique étant minorée par 1, le signe de f' est celui de 2x - 1. On a donc
le tableau de variation suivant pour f :
X
0
l
2
2
f'(x) - ch(l)
- 0 + 3ch(l)
sh(l)
sh(l)
f(x)
�
/
- sh(5/4)
Comme la fonction sinus hyperbolique est strictement croissante sur JR, on a
sh(5/4) > sh(l). On déduit du tableau de variation que
sup 1 sh(x 2 - x - 1)1 = sh(5/4).
xE] 0 , 2 [
SOLUTION DE L'EXERCICE 2.2
Si x= 0 alors fn (x) = 0 pour tout n EN et si x E JR* alors fn (x) '"" 1/x 2 n - l
n-+ + oo
donc limn-+ + oo fn (x) = O. On en déduit que la suite Un)n converge simplement sur lR vers l'application nulle. Pour tout n E N*, on a
lxl
X
sup lfn (x) - OI = sup (l 2) n = sup (l 2) n ·
x EIR
x EIR + X
x EIR+ + X
Soit 9n : x E JR + i--+ x/(l +x 2 r. Pour tout x E JR + on a
,
1 - (2n - 1 )x 2
9n (x) = (1 + x2) n + l
et g� s'annule sur JR + en Xn = ..; 2 � _ 1 . Le tableau de variation de l'application 9n
est donc le suivant :
X
0
Xn
+oo
1/J' (x)
+
0
-
9n(Xn)
1/J(x)
/
�
0
0
On en déduit que :
SU
X -0 - X -
-
1-1
1
1 ( 1 ) n
x E g If n( ) 1 - 9n( n) - ../ 2n - 1 (1 + 2 n l - l ) n - ../ 2n - 1 2n