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Exercices de synthèse
e) Soit t: un réel strictement positif fixé ; montrer qu'il existe N EN tel que
pour tout entier n �Net pour tout x E [ü, +oo[ on ait lfn (x) - f(x)I � t:. En
déduire que la suite Un)n converge uniformément sur lit+.
2 - On considère la suite (Fn)n de terme général Fn : x E [O, +oo[f-+ f o x f n(t) dt.
a) Montrer que la suite (Fn)n converge uniformément sur [O, +oo[ vers
F : X E [O, +oo[f-+ J; e-t 2 dt.
b) Pour n E N*, on note fn = J/n fn (t) dt. En considérant le changement
de variable t = y'nsin(O), montrer que fn = y'n J 0 'i cos 2 n + l (O) dB.
En déduire que fn = vn ?
n n!) � I puis, en utilisant la formule de Stirling c2s> ,
2n + 1 .
montrer que la suite (fn)n converge vers �fa.
3 - Conclure en montrant que J 0 + 00 e -t 2 dt = �fa.
Exercice 2.10
On considère la suite Un)n de .terme général f n : X E R f-+ Jt ex dt.
1 - Calculer fn (x) pour tout x ER et tout n E N*.
2 - a) Calculer le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de x = 1 de la
fonction x f-+ -
1
- ( 1 - _2_ 1 ) .
X -1
n x -
b) En déduire que pour tout n EN* l'application fn est dérivable sur R et
calculer f� (x) pour tout x ER
c) L'application fn est-elle de classe C 1 sur R?
3 - Étudier la convergence simple et uniforme de la suite (f�)n· On note g la
limite de la suite (f�)n.
4 - a) Montrer que la suite de fonctions Un)n converge simplement sur ]1, +oo(
et déterminer la limite f de cette suite.
b) Vérifier que f' = g et analyser cette situation au regard d'un résultat
du cours.
< 2 8 > On rappelle la formule de Stirling : n! � v'2ITTï ( .!! ) n .
+oo
e