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Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
On en déduit que limn-.+oo f0 1 fn (x) dx = � =/:- J; limn-++oo fn (x) d x .
Le théorème suivan t in dique qu'une condition suffisante pour avoir l'égalité (12)
est que la convergence de la suite Un)n vers f soit un iforme sur [a, b] .
THÉORÈME 2.4 Soit Un)n une suite d'applications de [a, b] dans R, Riemann
intégrables sur [a, b] . Si la suite Un)n converge uniformément sur [a, b] vers
l'application f alors f est Riemann-intég rable sur [a, b) et
lb f(x) dx = lim lb fn (x) dx.
a
n-++oo a
Démonstration � Pour montrer que l'application f est Riemann-intégrable
sur [ a, b] , il faut montrer c2 1 l que pour tout c ER�, il existe un couple (E , 7/Jc) de
fonctions en escalier sur [ a, b] tel que : 7/Jê � f � ê sur [ a, b) et J: ( ê - 7/Jê ) < c .
Soit c un réel strictement positif fixé ; par hypothèse, la suite d'applications
Un)n convergeant uniformément sur [a, b] vers l'application f, on a c22>
3N EN \l x E [a, b] \ln EN ( n ?: N ==} l fn (x) - f(x) I � 3 ( b � a) ) . (13)
L'application fN étant Riemann-intégrable c22l sur [a, b] , il existe un couple
(N,ê• 1/JN,ê ) de fonctions en escalier sur [a, b] tel que :
1/JN,ê � fN � c/JN,ê sur [ a, b) et lb (c!JN,ê - 1/JN,ê ) < ! c . (14)
Pour tout x E [ a, b) , on a d'après (13),
1
1
3 ( b - a) c � f N(x) - f(x) � 3 (b - a) c .
(15)
On déduit alors de (14) et (15) que
1
1
f(x) = f(x) - fN (x) + f N (x) � 3 (b _ a) c + fN (x) � 3 (b _ a) c + N,ê (x)
et que
f(x) = f(x) - fN (x) + fN (x)?:
1
1
'
3(b _ a) c + fN(x)?: - 3 (b - a) c + 1/JN,ê (x) .
(21 > Voir la définition 18.4 p. 836 du Cours de première année.
(22> On prend e = 3{b :_ a) (sic) dans la définition 2.2 p. 73.