Suites de fonctions
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PROPOSITION 2. 7 (Permutation de limites)
Soient a un réel et Un )n une suite d'applications de ]a, +oo[ dans � qui
converge uniformément sur ]a, +oo[. Si à partir d'un certain rang les applications f n admettent une limite en +oo alors,
2.3.3 Limite uniforme d'une suite d'applications intégrables
Considérons un e suite Un )n d'applications de [a, b] dans�, Riemann-intégrables
sur [a, b] et convergeant simplement sur [a, b] vers un e application f. On se pose
la question suivante : l'intégrale en tre a et b de f, c'est-à-dire l'intégrale en tre a
et b de la limite de la suite Un )n, est-elle égale à la limite lorsque n tend vers
l'in fin i de l'intégrale en tre a et b de f n? Autrement dit, a- t-on toujours :
lb lim fn (x) dx = lim l b fn (x) a n ->+oo
n ->+oo a
(12)
On peut se convaincre que cette égalité n'a pas toujours lieu en considérant
la suite Cfn)n où fn est l'application défin ie sur [ü, 1] par fn (x) = 2n 2 x pour
x E [ü, 2 �[, fn (x) = -2n(nx - 1) pour x E [ 2 �, �[ et fn (x) = 0 pour x E [ � , 1].
Les premiers termes de la suite Cf n)n peuvent aisément être représentés à l'aide
de MAPLE.
> fn:=(n,x)->piecewise(x>=O and x < 1/(2*n), 2*n**2*x,
x>=1/(2*n) and x < 1/n, -2*n*(n*x-1),0):
> plot([seq(fn(i,x),i=l .. 5)],x=O .. 1);
On vérifie que cette suite converge simplement sur [O, 1] vers l'application nulle ;
on a donc J; limn -> + oo fn (x) dx = O. Par ailleurs,
rl
r2 i..
f f;
1
J
o fn (x) dx = l n
2n 2 x dx - 2n ...1. . (nx - 1) dx = 2.
0
0
2n